Re: [分析] 一題實變

[k6416337 (とある煞氣の光希)]

※ 引述《channelnoise (通道雜訊)》之銘言：
: 想了很久還是不太確定自己的想法對不對。
: 題目是：
: Let (X,\Sigma) be a measure space, and u a positive measure on it
: such taht for any E\in\Sigma, with u(E)>0, there is a F\in\Sigma
: contained in E such that 0<u(F)<u(E).
: (1)
: Prove that for every \epislon>0, there is a finite partition of X
: in measurable subsets X1, ... Xn with u(Xj)\leq\epsilon for all j
: (2)
: Prove that fore every 0\leq a \leq u(X) there is a
: E\in \Sigma s.t. u(E)=a.
: 關於第一題我的想法是根據假設，
: 我們可以找到無限組的 decreasing sets F_k s.t.
: 0<...< u(F_k)<...<u(F_1)<u(X)
: 但問題是我想要claim u(X\F_1)\leq \epislon
:                     u(F_k\F_k+1) \leq\epislon
: 這一點我的想法是因為只要set measure　＞０，我們就可以一直分割到滿足所要條件，
: 但是是無限的步驟下去，
: 只是因為u(X)<\infinity, 我們便可以有finite的項次，不知這樣子如何？
: 而第二題就是去找跟a 很接近的u(F_k)去逼近它。
: 感謝大家幫助～～～

Claim 1:for all integer k>0,there exists A_k屬於sigma,A_kㄈX,s.t.

                  μ(X)/2^k ≦ μ(A_k) < μ(X)/2^(k-1).

Claim 2:(Use Claim 1) for all subset EㄈX, E屬於sigma, and 0<ε<μ(E),

        there exists F屬於sigma, FㄈE, s.t.

                           ε/2≦μ(F)<ε.

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◆ From: 140.113.22.65
推 channelnoise:謝謝你～～～
推 fantasy0404 :請問claim 1左邊的不等式如何證明?
推 channelnoise:我的想法是if a+b>=c then a>=c/2 or b>=c/2
推 channelnoise:請問b)小題的話怎麼辦呢？