Re: [分析] Weirestrass逼近原理

[Lindemann (nam myo horen ge kyo)]

※ 引述《math1209 (人到無求品自高)》之銘言：
: ※ 引述《Lindemann (nam myo horen ge kyo)》之銘言：
: :            昨天念著念著就不小心看到這個定理了>_<
: : 就看這本書有提到              微積分縱橫談    沈燮昌   邵品琮
: : 我是還停留在高微的level啦,就記得很久很久前實變念到好像有一個叫做Fatou定理?
: : 接下來我就....  實變掛了><
: : 有人可以說一下p258-p.259  Weierstrass第一第二這個定理證明的證明的精神
: : 我不太能掌握這本書的証明
: : 還有Weierstrass逼近這個定理實用嗎???
: : 用一個任意多項式去逼近一個函數,奇怪為什麼這多項式是無窮級數?
: : 還有有Fourier級數又稱之"三角"多項式?
:  微積分縱橫談-沈燮昌,邵品琮. 的確是一本好的科普書籍。至於你提到的 Fatou's

               Fatou's lemma就我印象中最後一次去上課然後就決定不去上了XDDD

現只記得老師整天Fatou,Fatou,Fatou(好像在罵人)

          因為我已經轉行了,微積分縱橫談這本書我覺得有趣是真的還蠻適合自修的

程度應該和Marsden相當而且都有做證明,而且跟一般高微不太一樣的是

他會先用疑問的方式問讀者和舉出反例讓讀者感興趣,

說服讀者說 "相信"極限,級數和積分隨便交換亂做這樣會錯吧,接下來看作者的解說吧XD

尤其唸過工數甚至算過Dirichlet積分的人,看了這本書可能都會懷疑自己曾經算過

每一個積分可能都是有問題的XDDD

             昨天就先複習以前Cauchy,Weierstrass,Dirichlet和 Abel test回想

以前唸高微的情景,真是  不堪回首XDDD

還是覺得以我資質其實念過一些應用的再回來看這些會覺得有趣

然後就跳到Weierstrass approximation,他就提到第一和第二定理

但是我不太能體會書上證明這個涵意T_1 T_2... 到T-6

甚至後面提到了簡單的measure和Weierstrass Stone定理都有證

這本書對我現在來說已經非常夠用甚至太多了,

很多我不熟感興趣的東西,證明e和pi是超越數

我覺得至少相對於Apostol這是不會讓我覺得想睡的書>_<




:  lemma 應該與你要談論的逼近定理無關。我們有許許多多不同類型的逼近定理，而
:  以  Weierstrass 逼近定理較為出名。而你問到第一與第二定理，關於這一點請翻
:  閱 Mathematical Analysis-T.M.Apostol, 第十一章部分: 裡頭提及了該怎麼使用
:  第二定理證明第一定理 (事實上這兩個定理不難看出是等價的…).
:  當我們談論到  Weierstrass 逼近定理時，往往指的是第一定理。這個第一與第二
:  的名稱就無須太在意了。較需要知道的還有  Stone-Weierstrass 定理 (1937,48).
:  昨天在你寫的文章之下，我們談及了一些數學史，我提到了在某種意義上來看:
:       Stone-Weierstrass 定理 (1937) 會與 Fourier 的看法 (1807) 等價。


           如果念過物理或是工數的人應該會對這些東西都非常有"感覺"

我也好奇是不是因為正交函數有一些侷限性才會去找任意的多項式逼近????

但是念數學讓我一直無法接受的是,我們只是一直再證或是反證前人辛苦的結果

卻什麼也沒得到,除了心靈上的感受,長期來說更不用說"靈感"或快樂這件事情了

覺得念到高微複變對我就很足夠了,比如說最近複習複變  極大模定理,證明可能很多啦

就覺得其實我們就是已經知道答案,然後硬要湊一個epsilon,然後硬把三角不等式

弄這種高微就一直玩弄的把戲,好吧,你湊到一個矛盾的結果,所以由反證法知道極大在圓上

接下來呢,我什麼也沒得到,當然啦一開始會覺得有趣啦,因為畢竟也是存在性的証明

代數基本定理因為掛一個高斯的名字,又是一個困擾著許多大數學家的千古難題

而且初等的證明簡單卻又很難想到用複變解代數,所以我覺得很有意思

(但是我覺得一樣是數學其實就很多不同的面向和精神了,後來反而喜歡念代數的証明

只要我看的懂得)

      比如說工學院和物理系會對Rouche定理或是這種證明和證明根會出現在那裡更有趣,因為

1.他不再一直玩弄epsilon- delta技巧卻沒有告訴我新的東西

2.證明簡單,思想還蠻妙,這種真的是天才想到來的>_<

3.而且真的在實際工程和物理應該是很有用的


:  這是基於我們得找到一個適當的 Algebra. (請參考 Rudin 的高微名著) 而此適當
:  的 Algebra 的其中特例就是正餘弦函數的線性組合。不過由於當時 Weierstrass
:  逼近定理的證明是來自 Weierstrass 對於 Heat Kernel 的研究，因此是否能跳脫


     我記的 Heat Kernel最早Poisson時代就有了?

這個好像是因為歷史因素保留這個名詞而已,像我昨天看heat Kernel網頁,真是有趣呀XDDD

就感慨如果我一直待再數學系應該會覺得這網頁難以理解,




:  heat, 而在 19 世紀末去得到此 Weierstrass 逼近定理就很難說了(我的意思是指
:  要隔多少年才會被發現？) 此段我還有很多話想說，只是我文章改來改去，覺得這
:  話要說的完整就得建立在一堆不確定的假設之下，而且意義也不大，就不多說了…
:  當然，以現在的眼光來看 Weierstrass 逼近定理的方法有很多種，例：
:  (1) Principles of Mathematical Analysis—Walter Rudin, pp. 159-160.
:  (2) Mathematical Analysis—T.M. Apostol, p. 322.
:  (3) The Elements of Real Analysis—Robert G. Bartle, pp. 171-172.
:  (4) Introduction to Approximation Theory—E.W. Cheney, pp. 67-68.
:  (5) Partial Differential Equations—Fritz-John, pp. 209-213. (Exercise 1).
:  等方法。
:  最後你提到那兩段文字：為什麼這多項式是無窮級數? 與 Fourier 級數又稱之"三角"
:  多項式? 第一個問題: 我不確定你是哪裡看來的。第二問題通常會稱為三角級數。而

       我剛剛還看了一下p.256頁 他真的是寫三角"多項式",我還以為我之前的代數

觀念又要完全被顛覆了>_<


:  會稱為三角，這應該是說明 Fourier 當初考慮的僅僅是正餘弦函數的 (無窮)線性組
:  合。


               Fourier他其實有考慮 正弦 餘弦函數和 正餘弦函數的 (無窮)線性組

的級數和和傅立葉積分(也承認他知道有些他無法克服的盲點但努力去改進)

傅立葉積分是他後來探討無窮長的狀況仍然用級數

被質疑之後自己在去改進變成積分又得獎的文章



:  NOTE.
:  (0) 上頭提到了 1937, 48. 這是指在 1937 時先給了證明，而在 1948 年 Stone 自
:      己又給了一個簡化的證明。
:  (1) 這由 Landau 引進，蠻接近 (5), 也涉及了 convolution 與 Dirac sequence.
:  (2) Fejer 定理的應用 (於 Fourier Series).
:  (3) 這是來自 Bernstein (1912) Polynomials.
:  (4) 這來自算子理論。(與 (3) 有些關係…)
:  (5) 這來自 Heat kernel. (Weierstrass)
:  此外，我寫過一篇關於這方面的數學資料文件。需要的話，私底下寫封信給我。裡面
:  有一些數學應用。


           非常感謝啦^^,不過等我度過這二個月的難關,不然真的快完蛋了,

(就是壓力大才上PTT看科普,念不太會考的結果壓力好像更大>_<)

             以上這個好像Bernstein (1912) Polynomials.我有印象

(Marden高微就有了?)  我知道這好像是泛涵很重要的東西,但是我現在還沒什麼

動力去學這種東西


        至於說到Dirac算子理論,上次herstein大說的Sato還是Kato????

我真的很想問一個數學家 T.Kato  他的東西到底是用來幹麻的>_<  重要性在那裡?




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.120.11.231
推 zombiea     :Sato吧, Sato, Mikio佐藤幹夫
→ Lindemann   :喔喔  原來是佐藤,那T.Kato呢? 他是誰?
→ Lindemann   :我看一本大陸的調和分析PDE裡面他是提到Kato
→ Lindemann   :Kato在算子裡面好像似乎貢獻也是不小?我看都引Kato?
推 math1209    :看完之後, 我有很多話想說 = = 可是這樣一來, 份量就
→ math1209    :很重了...我也倦了...就不在多說這方面的事情了.
→ Lindemann   :不好意思啦,畢竟我的分析沒有你們強只能是業餘的水準
→ Lindemann   :在我心目中math1209的分析才是一個數學系應該要有的
→ Lindemann   :因為我在數學系裏面也只有複變比較認真,高微沒下苦功
→ Lindemann   :總覺得念高微要扯到實變,然後那時候老師把我們當天才
→ Lindemann   :到後來我也不知道去把我的高微真正去好好去run過一遍
→ Lindemann   :有機會私底下聊吧>_< 因為我可能是太寂寞壓力太大><
→ Lindemann   :說這麼多也許想分享當初這麼有心念數學換來殘酷結果
推 tryitredboy :想看math1209大大的回文~