推 k6416337 :通常工學院的不管這個 只要能做出可以用的解就好 04/21 18:19
→ plover :作者會問 if fn(x)converge pointwise..is f(x) boun 04/21 18:20
→ plover :表示不太可能是工學院的.. 04/21 18:21
推 math1209 :老大,你的出身不就是工學院!? 04/26 12:48
※ 引述《gp3gp3 (gp3gp3)》之銘言：
: 標題: [分析]if f(x)=f'(x) then存在一常數C s.t f(x)=Ce^x
: 時間: Tue Apr 20 20:50:13 2010
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: 題目如下：
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: Prove that if f(x) is a function from R to R such that
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: f(x)=f'(x) then there exists a constant C so that
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: f(x)= C e^x (題目完)
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1. 先簡化題目:
Prove that if f(x) is a function from R to R such that
f'(x) = 0 then there exists a constant C so that f(x) = C.
用所謂的 "工數方式" 只會造成循環論證，回到問題上面，
只要用 MVT 就可以證明出來 f(x) 是 constant function.
2. 回到原題目就很簡單了, 令 g(x) = f(x) e^{-x}.
g'(x) = f'(x) e^{-x} - f(x) e^{-x} = (f'(x) - f(x)) e^{-x} = 0.
依上面結論可得 g(x) = C for some constant C, i.e., f(x) = C e^x.
上面論證只要知道 MVT, (e^x)' = e^x 及一些微分規則等等
: = c0( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + .....)
: = c0 ‧e^x
這可以幫助理解
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: 不過題目並沒有說f(x)是多項式，所以我就不知道到底要怎麼證
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: 課本是有證出 若f(x)=f'(x) 和 f(0)=1的話 那麼這個f(x)就一定是
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: e^x 不過不知道要怎麼用到這題上＠＠ 請教了 謝謝!!
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: ◆ From: 131.123.62.5
: → ntust661 :那一串就是 e^x 阿@@ 04/20 20:55
: → gp3gp3 :就是有證出 如果f(x)像我一開始那樣設 則可得到f(x) 04/20 20:58
: → gp3gp3 :=某常數乘上e^x但題目並沒說f(x)得是那樣的多項式@@ 04/20 21:00
: → gp3gp3 :所以我就不知道要怎麼證>"< 04/20 21:00
: ※ 編輯: gp3gp3 來自: 131.123.62.5 (04/20 21:01)
: 推 ntust661 :那你幹麻一開始就令多量是= = 04/20 21:02
: → ntust661 :多項是 04/20 21:02
: → suker :y'=y 用工數方式去解不就好了嗎? 04/20 21:05
: → suker :dx =(1/y) dy ==>lny =x+c , y=e^(x+c)=(e^x)(e^c) 04/20 21:08
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通常這一步很難說的清楚..
: → suker :=(e^x)C 04/20 21:08
: → suker :這樣不是很簡單嗎y=f(x) 之後代 y(0)=1得C=1 04/20 21:13
: → gp3gp3 :就一開始不會做 隨便亂試>"< 04/20 21:13
: → gp3gp3 :懂了 謝謝～ 04/20 21:14
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※ 編輯: plover 來自: 118.160.175.52 (04/20 22:49)