[分析] 一題實變

[channelnoise (通道雜訊)]

想了很久還是不太確定自己的想法對不對。

題目是：

Let (X,\Sigma) be a measure space, and u a positive measure on it

such taht for any E\in\Sigma, with u(E)>0, there is a F\in\Sigma

contained in E such that 0<u(F)<u(E).

(1)
Prove that for every \epislon>0, there is a finite partition of X

in measurable subsets X1, ... Xn with u(Xj)\leq\epsilon for all j

(2)
Prove that fore every 0\leq a \leq u(X) there is a

E\in \Sigma s.t. u(E)=a.

關於第一題我的想法是根據假設，

我們可以找到無限組的 decreasing sets F_k s.t.

0<...< u(F_k)<...<u(F_1)<u(X)

但問題是我想要claim u(X\F_1)\leq \epislon

                    u(F_k\F_k+1) \leq\epislon

這一點我的想法是因為只要set measure　＞０，我們就可以一直分割到滿足所要條件，

但是是無限的步驟下去，

只是因為u(X)<\infinity, 我們便可以有finite的項次，不知這樣子如何？

而第二題就是去找跟a 很接近的u(F_k)去逼近它。


感謝大家幫助～～～



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.170.225
推 k6416337    :實變作業吼?剛剛我去問過助教 有給我提示了
→ channelnoise:樓上可以給我一點提示嗎？謝謝～我之前寄信問過助教
→ channelnoise:但助教還沒回我信…
→ psistorm    :F_1 和 X\F_1 其中一個測度要小於等於 \mu(X)/2
→ psistorm    :然後依此類推... 所以 \mu(X)<\infty 的條件是必要的