[分析]f_n(x)=nx(1-x)^n,x∈[0,1],{∫f_n(x)dx}是否收斂

[gp3gp3 (gp3gp3)]

ps.下方的"x"都是指英文字母x,不是乘法符號(怕大家被符號考混@@)



題目是： Let f_n(x) = nx(1-x)^n, where x∈[0,1].

Discuss convergence of sequences {f_n(x)}, {f_n'(x)}

       1
and {∫ f_n(x)dx }   (題目完)
       0



第一個部分{f_n(x)} 我做法是 （以下用fn(x)表示 f (x) )
                                               n

If x = 0 or x = 1, 則 fn(x) = 0 → 0. 由一個小theorem知

when n→∞, (n˙b^n) → 0 for b∈(0,1)

所以 if 0 < x < 1, then 0 < 1-x < 1  可得知

fn(x) = nx(1-x)^n  → 0

第二個部分{fn'(x)} :   fn'(x) = n(1-x)^n + nxn[(1-x)^(n-1)](-1)

                            = n(1-x)^n - (n^2)x[(1-x)^(n-1)]

                            = n(1-x)^(n-1)˙(1-x-nx)          (A)


這邊我有點不太確定>"<  我猜依據上方那個小theorem的精神來看(A)行

當n趨近於無窮大時

(A)行的第一個n趨近於無窮大, 最後一個括號(1-x-nx)

可能趨近於正無窮大或負無窮大

反正就是兩個無窮大（or一正一負）的東西相乘  但是抵不過(1-x)^(n-1)

這個介於0和1之間的東西自乘無窮多次方縮小為0的速度   所以最後（A）是

趨近於0  （不知道對不對@@）


然後第三個部分@@
    1
 {∫ f_n(x)dx }  我完全不知道怎麼下手>"<
    0

請教了, 謝謝!








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※ 編輯: gp3gp3          來自: 131.123.62.5         (05/09 09:29)
→ k6416337    :fn(1-x)=n(1-x)x^n作積分