[分析] 實變

[smartlwj (還有3間)]

1. Let μ be a measure (on some measure space X) and let f_n, n=1,2,...

   be a sequence  of real-valued measurable functions on X. Suppose

   that ofr every ε>0, the sum
                 ∞
                 Σ μ{x| |f_n(x)|>ε} is finete.
                 n=1

   Prove that f_n converges to zero almost everywhere.


2. Let I=(0,1). Suppose {f_n} is a norm-bounded sequence of function in L^2(I)

   that converges in measure to a function f.

   (a) Show that f in L^2(I) and ║f║≦ liminf║f_n║
                                     2               2
   (b) Show that ║f_n║ converges to ║f║ if and only if ║f_n - f║ → 0.
                       2                  2                          2


請問這兩題該怎麼做呢??

第一題我由題目可以知道 f_n 是依測度收斂到0
所以存在子列{f_nj}會幾乎處處收斂到0. 然後我想要証明出f_n →0 a.e.
由|f_n-0|≦|f_n-f_nj| + |f_nj|  然後我就不知道該怎麼做了

第二題的(a)沒想法
        (b)的(<=)已証出
             (=>)我想用LDCT 但是 我缺少了 f_n → f a.e.的條件
                 而題目只有 f_n → f in measure.
                 我該怎麼做呢??

不知道我目前的想法是否有問題？請指教 謝謝<(_ _)>


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.195.18.47
推 goodGG      :1.反證法看看.
推 goodGG      :不太確定，看看math1209有沒有被釣到 @@a
→ goodGG      :果然證錯了 @"@
→ smartlwj    :用GG大當祭品招喚math大大出來吧
→ keroro321   :1.直接証就可以了
→ keroro321   :let En,m={x:|f_n|>(1/m) }
→ keroro321   :        ∞  ∞
→ keroro321   :    Fm= ∩  ∪ μ(Ek,m)
→ keroro321   :        n=1 k=n
→ keroro321   :then μ(Fm)=0 .
→ keroro321   :If y belongs to ( X-{limf_n(x)→0} ) ,
→ keroro321   :then y belongs to
→ keroro321   :        ∞
→ keroro321   :     F= ∪  Fm
→ keroro321   :        m=1
→ keroro321   :μ(F)=0 , So {f_n}→ 0 a.m.[μ]
→ k6416337    :能對μ(Fm)=0再說仔細一點嗎?Fm是不是有打錯?
→ keroro321   :抱歉喔沒仔細檢查  那邊打錯 沒有μ