→ wuxr :m大, 如果|I_N|<|J_K|, 能不能把 J_K用 |I_N|長的開 05/12 08:59
→ wuxr :開區間來分割.然後就能要求 |J_K|< 3/2 |J_K∩B| 05/12 09:00
→ wuxr :這樣後面的敘述還要改嗎? 05/12 09:01
→ math1209 :這樣要求不一定可以保持不等式 |J_K|< 3/2 |J_K∩B| 05/12 09:34
※ 引述《wuxr (wuxr)》之銘言：
: since |A|, |B|>0, there exist open set, G1, G2 containing A, B resp.
: s.t |G1|< 3/2 |A|, |G2|< 3/2 |B|
這裡不對…因為 |A| 與 |B| 可能是無限大。
不過這件事到不是一個要緊的事情，因為我們可以縮小 A 與 B.
: write G1 as a disjoint union of open intervals I_n
: there exist N s.t |I_N|<3/2 |I_N∩A|
: Similarly, we have open interval J_K s.t. |J_K|< 3/2 |J_K∩B|
: Moreover we can ask |I_N|=|J_K|=L
這個要求(指 |I_N|=|J_K|=L)不一定作得到，因為你上述裡已經說明了"存在",
而這個存在沒辦法保證可以這樣要求使 |I_N|=|J_K|=L. 不過倒是可以作修改。
根據此文後半段的敘述，我們只需要作平移塞進去某一個較大的區間裡就成了。
只是後半段的估計要重新寫寫…
: For convenice, I_N=I, J_K=J
: I_N∩A=A , J_K∩B=B
: hence |A|>2/3 |I|, |B|>2/3 |J|
: and say I, J are centered at x. y, x<y
: let I', A' be the translated set I ,A by y-x,
: claim A'+d intersects B as nonempty for any |d|<L/6
: otherwise, A'+d ∪ B is containded in a interval with length L+|d|
: i.e |A'+d ∪ B|<L+|d| (1)
: on the other hand |A'+d ∪ B|= |A'+d |+|B|=|A|+|B|> 4/3 L (2)
: Hence we have a contracdition (1) and (2)
: since A'+d=A+(y-x)+d intersects B as nonempty, we are done!
後面大概就與 Zygmund 書上所證明極為類似，所以我就不再逐一看了。
NOTE. 你可以試著問問 E_1 ＋ E_2 呢？
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Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste.
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