推 wuxr :神人~~~請受我一拜 05/12 14:12
※ 編輯: math1209 來自: 114.32.219.116 (05/12 23:48)
※ 引述《wuxr (wuxr)》之銘言：
: If J_k is almost a finite disjoint union of open intervals J'n,
: with all J'n have the same length L
: |J_k|=Σ|J'n|
: and |J_K∩B|=Σ|J'n∩B|
: since |J_K|< 3/2 |J_K∩B|
: there exist |J'n|< 3/2 |J'n∩B| for some n
: 這樣可以嗎?
這樣依然不妥…這樣吧，我依循著你的思路，把證明寫一次。
[建議你，讀時把圖形約略畫一下，不然不好懂。]
(1) 為了方便起見，我們可限制 m(A) 與 m(B) 為有限正測度。
隨著你的證明走下去，存在兩個開集合 G_A 與 G_B 使得
|G_A| ＜ 3/2 |A|, 且 |G_B| ＜ 3/2 |B|,
再跟著你證明前進，存在 I_A 與 J_B 使得
|I_A| ＜ 3/2 |A∩I_A|, 且 |J_B|＜ 3/2 |B∩J_B|.
即 2/3 |I_A| ＜ |A∩I_A|, 且 2/3 |J_B| ＜ |B∩J_B|.
(2) 稱 |I_A| ＝ L, 且 |J_B| ＝ M. 如此一來，(1) 中最後一式可記為
(2/3) L ＜ |A∩I_A|, 且 (2/3) M ＜ |B∩J_B|. （ㄅ）
不失一般性可假設 L ≦ M. 則下列不等式可不失一般性地成立：
M/2 ＜ L ≦ M. （ㄆ）
[若非，則表示 L ≦ M/2, 緊接著問這不等式 M/4 ＜ L ≦ M/2,
是否成立？如果還是不成立，我們就會問…
M/(2^n) ＜ L ≦ 2M/(2^n)
是否成立？答案很顯然：總有一個 n 使之成立。假設 n_0 使
之成立，命 2M/(2^n_0) 為 新的 M' 就成了! 所以我們有 (ㄆ）.]
此外，你先前證明了 L＝M 是成立的。於是我們可再要求有不等式
M/2 ＜ L ＜ M. (ㄇ)
(3) 再來，我們考慮平移，使平移後的兩區間 I_A, J_B 中心重合。
不妨稱平移後的為 I, 與 J ＝ J_B (記 J 只是為了使證明讀起來乾淨…).
且再稱平移後的 A∩I_A 為 A' 且原始之 B∩J_B 為 B'.
(4) 宣稱當 d 夠小時，(A'+d)∩B' 不為空集合：
倘若為非，則
(i) |(A'+d)∪B'| ＜ M. (這是因為 (ㄇ) 說明了 L ＜ M, 而 d 只要
夠小… A'+d 表示不管 A' 怎麼移動一點點，
這集合都跑不出 J.)
(ii) |(A'+d)∪B'| ＝ |A'+d| ＋ |B'| (測度之性質或說定義)
＝ |A'| ＋ |B'| (Lebesgue (外)測度之平移不變性)
＝ |A∩I_A| ＋ |B∩J_B| (上述 (3) 中之定義)
＞ 2/3 L ＋ 2/3 M. (來自(ㄅ))
將 (i) 與 (ii) 合併之可知： 2L ＜ M.
由 (ㄇ) 知： M/2 ＜ L, 故由上式可得
M ＜ 2L ＜ M.
故得一矛盾…
(5) 接下來就是推論了…略。
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