請教各位先進一個問題
let g(x)=1-|x| |x|≦1
0 otherwise
and g_n(x)=ng(nx)
Show that ||f*g_n-f||→0 for all conti. function f on R vanishing at infinity
where || || means the sup norm
我的做法是這樣
Note that ∫g_n(t)=1 for all n
R
and f is uniformly conti. on [-1, 1] , choose δ>0 s.t.
|f(x)-f(y)|<ε/2, for any |x-y|<δ
Since
|f*g_n(x)-f(x)|
=|∫g_n(t) × (f(x-t)-f(x)) |
R
=|∫ g_n(t) × (f(x-t)-f(x)) |
[-1,1]
≦∫ g_n(t) ×| (f(x-t)-f(x)) |+∫ g_n(t) × |(f(x-t)-f(x)) |
[-δ,δ] δ<|x|≦1
< ε/2 + A<--(上式右邊那一項積分)
然後對A, 我這樣估計
A≦ 4M ∫ g_n(t)
(δ,1]
因為 g_n→0 , 而且, 在 (δ,1]上是有界的
我用LDCT得到 lim ∫ g_n(t) = 0
(δ,1]
所以夠大的n ∫ g_n(t) <ε/2
(δ,1]
請問板上先進, 我這樣做可以嗎?
不過我好像沒有用到 lim f = 0
我也有點困惑了@.@ 求教了
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