推 kemowu :感謝！原本以為要用convergent thm 05/18 00:52
※ 引述《kemowu (小展)》之銘言：
: n-1
: nx
: Let f_n = --------. Prove that
: 1 + x
: 1
: lim ∫ f_n(x) dx = 1/2.
: n→∞ 0
1 n-1
令 u = ------- , dv = (n)(x )
1 + x
-1 n
則 du = ----------- , v = x
(1 + x)^2
1
lim ∫ f_n(x) dx
n→∞ 0
n-1
1 (n)(x )
= lim ∫ ------------ dx
n→∞ 0 1 + x
n |1 n
x | 1 x
= lim -------| + ∫ ----------- dx
n→∞ 1 + x |0 0 (1 + x)^2
n
1 1 x
= --- + lim ∫ ----------- dx
2 n→∞ 0 (1 + x)^2
n
x n
0 ≦ x ≦ 1 => 0 ≦ ----------- ≦ x
(1 + x)^2
n
1 x 1 n
=> 0 ≦ lim ∫ ----------- dx ≦ lim ∫ x dx
n→∞ 0 (1 + x)^2 n→∞ 0
n+1 |1
1 n x | 1
因為 lim ∫ x dx = lim ------| = lim ------- = 0
n→∞ 0 n→∞ n+1 |0 n→∞ n + 1
n
1 x
所以由夾擠定理得 lim ∫ ----------- dx = 0
n→∞ 0 (1 + x)^2
1 1 1
因此 lim ∫ fn(x) dx = --- + 0 = ---
n→∞ 0 2 2
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本週抽中:安 心 亞 本週最心碎:吳 怡 霈 本週最亮眼:王 薇 欣
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