推 goodGG :真的嗎？列式給大家看看 ^^ 05/22 15:57
※ 引述《math1209 (人到無求品自高)》之銘言：
: ※ 引述《pentiumevo (pentiumevo)》之銘言：
: : 可以幫我解釋這個函數在(0,0)的連續性嗎？
: : (xy)/[(x^2)+y] if x^2=/= -y
: : f(x)={
: : 0 otherwise
: : 題目出自Marsden高微Example6.4.3，我看不懂M大寫的
: : "...since for x^2 near -y with both x,y small,f is very large."
: 畫個圖 y = -x^2. 我們可想像這是一條曲線。假設函數在原點連續。根據定義:在原
: 點畫出一個小圈圈，這個小圈圈裡面所有的點所導致的函數值一定要被控制住。不妨
: 假設以原點為圓心，化出個小圈圈使得函數值都不會超過 1.
: 現在就牢記：小圈圈(圓心為原點), 這圈圈裡面的函數值都不會超過 1.
: 注意到不管 (x,y) 在哪裡 (不能是 (0,0)), 只要 (x,y) 夠靠近那條曲線 x^2 = -y.
: 則分母會靠近 0. 換句話說，只要 (x,y) 夠靠近那條曲線且 (x,y) 不為 (0,0), 則
: 分母會很大，而且分子會被限制住。即：
: 只要 (x,y) 靠近那條曲線，且 (x,y) 不為 (0,0). 這時候函數值要多大就有多大!!!
: 然後你看看小圈圈裡面有沒有 y = - x^2 這條曲線? 當然有…因此，這圈圈裡面的函
: 數值要多大就得有多大 =.= 那就表示與我們剛剛說要牢記的矛盾了。
首先感謝math1209大的回答，我看了後自己想了想大概懂了。
現在我要先問一個問題，就是極座標用於證明連續性的合法性？
請問若是以x=rcos theta
y=rsin theta
直接帶入函數，並使r趨限於0，這樣會得到f趨限於0，但這樣作與math1209大
所述矛盾，但為何這樣作是錯的呢？
那到底什麼時候可以用極座標來判斷函數的連續性？
謝謝！
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亦正亦邪!喜怒無常!兇暴鬥狠!多情無義!
洪 興 大 飛 哥
搏感情! 拼氣魄! 絕對不輸人!
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