Re: [分析]Marsden 6.4.3 二元函數在（0,0）的連續性

[pentiumevo (pentiumevo)]

※ 引述《pentiumevo (pentiumevo)》之銘言：
: ※ 引述《math1209 (人到無求品自高)》之銘言：
: :   畫個圖 y = -x^2. 我們可想像這是一條曲線。假設函數在原點連續。根據定義:在原
: :   點畫出一個小圈圈，這個小圈圈裡面所有的點所導致的函數值一定要被控制住。不妨
: :   假設以原點為圓心，化出個小圈圈使得函數值都不會超過 1.
: :   現在就牢記：小圈圈(圓心為原點), 這圈圈裡面的函數值都不會超過 1.
: :   注意到不管 (x,y) 在哪裡 (不能是 (0,0)), 只要 (x,y) 夠靠近那條曲線 x^2 = -y.
: :   則分母會靠近 0. 換句話說，只要 (x,y) 夠靠近那條曲線且 (x,y) 不為 (0,0), 則
: :   分母會很大，而且分子會被限制住。即：
: :   只要 (x,y) 靠近那條曲線，且 (x,y) 不為 (0,0). 這時候函數值要多大就有多大!!!
: :   然後你看看小圈圈裡面有沒有 y = - x^2 這條曲線? 當然有…因此，這圈圈裡面的函
: :   數值要多大就得有多大 =.= 那就表示與我們剛剛說要牢記的矛盾了。
: 首先感謝math1209大的回答，我看了後自己想了想大概懂了。
: 現在我要先問一個問題，就是極座標用於證明連續性的合法性？
: 請問若是以x=rcos theta
:           y=rsin theta
: 直接帶入函數，並使r趨限於0，這樣會得到f趨限於0，但這樣作與math1209大
: 所述矛盾，但為何這樣作是錯的呢？
: 那到底什麼時候可以用極座標來判斷函數的連續性？
: 謝謝！

x= rcos t  y= rsin t  r>0

xy/[(x)^2+y]=[r^2(cos t)*(sin t)]/[(r^2)(cos t)^2+r sin t]

            =[(cos t)*(sin t)]/[(cos t)^2+k(sin t)]    其中k＝1/r

使k趨限無限大，則xy/[(x)^2+y]趨限於0

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亦正亦邪!喜怒無常!兇暴鬥狠!多情無義!

           洪 興 大 飛 哥

    搏感情! 拼氣魄! 絕對不輸人!


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◆ From: 122.120.43.150
推 goodGG      :t 也會變化喔...例如 t->0, sin(t)->0 ...
→ k6416337    :r跟t可能會有某種函數關係
推 ppia        :你比較像是: 固定t，令r趨近於零。 但實際上應該是:
→ ppia        :對於任意t，當r夠小時，該式都要很小。
→ ppia        :換另一種說法,你是沿著由圓點出發的射線去看,的確
→ ppia        :沿著每個方向f都趨近於零 但是這並不表示f連續
→ pentiumevo  :所以使用極座標去看連續性是會有盲點的對否？
推 goodGG      :只有自己有盲點,科科 ︿(￣︶￣)︿