推 G41271 :謝謝 我研究看看 05/25 01:32
※ 引述《G41271 (茶)》之銘言：
: Evaluate the inverse Laplace transform L^-1{(s^2-a^2)^-1/2}
: by direct evaluation of the Bromwich integral.
: 所以是要證明
: 1 γ+iL e^(zt) 1 π
: ------ lim ∫ ------------ dz = --- ∫ cosh(atcosθ) dθ = I0(at)
: 2πi L→∞ γ-iL √(z^2-a^2) π 0
: γ>a>0
: 這種函數我不太確定分支切割要如何取,取了之後√(z^2-a^2)的幅角又要如何取
: ,懇請高手賜教.
: 我畫的contour是:
: C1: z =γ-iL ~ z =γ+iL的直線.
: C2: 圓心z=γ,半徑L的左上半圓.
: C3: z = γ-L+iε ~ z = -a +iε的直線.
: C4: z = -a +iε~ z = a+iε的直線.
: C5: 圓心z=a ,半徑ε的右半圓.
: C6: z = a-iε~ z = -a-iε的直線.
: C7: z = -a-iε ~z =γ-L -iε 的直線.
: C8: 圓心z=γ,半徑L的左下半圓.
: C = C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8
: 這樣畫下來,I=0,I1是題目,I2和I8應該都等於0(不然不用算了),
: I5本來想說是0,不過又好像不是(不確定),然後最讓我卡住的是I3I4I6I7.
: 我算到後來I4I6互消,I3和I7等值,反正就是湊不出答案.
: 不過呢,如果讓I3I7互消,I4I6等值(在一長串過程中的中間某一行偷加負號,
: 我在最後一刻這樣寫然後把作業交出去了),並說I5=0,那就得出答案了.
: 但是我取的幅角是不會讓這情況發生的,因此想說不知道我哪邊觀念有問題,
: 所以上來請教大家.
: 以下是我寫的,請幫我看看哪邊有問題:
: C3: √(z^2-a^2) = e^iπ √(x^2-a^2)
: C4: √(z^2-a^2) = e^iπ/2 √(a^2-x^2)
: C6: √(z^2-a^2) = e^iπ/2 √(a^2-x^2)
: C7: √(z^2-a^2) = e^i0 √(x^2-a^2)
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我昨天沒仔細看你的積分路徑
我發現你 C3 、 C4 有 "斷掉" 嫌疑
因為在你 ε→0 時
為了避開 z=-a 這個 pole
其瑕積分不會是真的 z = -a +iε 往下直接壓到 z=-a (不然有可能會發散)
直觀上這裡 z=-a+iε 的 "a" 應該會 "稍微" 比真的 a 還要小一點點點
這樣會不會是 closed contour 就很難說了XD
所以才需要再多繞一個上半圓 (半徑=k , 圓心=-a+iε )
由 z= -a-k+iε 繞到 z= -a+k+iε
相同的
你 C6 、C7 也要做類似的處理
----
反正最後只要考慮以下三個路徑:
C4 │
──→ │
│ ↑
───┼───┼───┼─ │ C1
z=-a z=0 z=a │
│
←── │
C6 │
在這裡定義 Re{z-a} <= 0 為 branch cut
Im{z-a} =0
然後定義 z 的幅角為 -π < arg{z} < π
對 C4 來說
在 Re{z}<0 下 z 的幅角為 π (實際上略小於 π)
在 Re{z}>0 下 z 的幅角為 0 (實際上略大於 0)
( 幅角的判斷就是拿極座標來看XD
一個 複數 z 一定會有相對應的 |z| 和 arg{z}
又因為 arg{z} 被我定義只能繞一圈(實際上有斷)
所以一定可以決定出唯一的 |z| 和 arg{z} )
所以
e^(zt)
∫ ──────── dz
C4 (z^2-a^2)^(1/2)
0 e^(-xt) iπ a e^(xt)
= ∫ ─────────── e dx + ∫ ──────────── dx
a e^(iπ/2) *√(a^2-x^2) 0 e^(iπ/2) * √(a^2-x^2)
a 2*cosh(xt)
= ∫ ─────── dx
0 i√(a^2 - x^2)
ps: 可以稍微在複數座標上點一下 z^2-a^2 大致會落在哪個位置上
你就可以判斷 arg{z^2 - a^2} = ?
相同的
e^(zt)
∫ ──────── dz
C6 (z^2-a^2)^(1/2)
0 e^(xt) a e^(-xt) -iπ
= ∫ ──────────── dx + ∫ ──────────── e dx
a e^(-iπ/2) *√(a^2-x^2) 0 e^(-iπ/2) * √(a^2-x^2)
a 2*cosh(xt)
= ∫ ─────── dx
0 i√(a^2 - x^2)
因此
1 γ+iL e^(zt)
─── lim ∫ ────── dz
2πi L→∞ γ-iL √(z^2-a^2)
1 e^(zt)
= - ─── ∫ ────── dz
2πi C4+C6 √(z^2-a^2)
2 a 2*cosh(xt)
= - ─── ∫ ─────── dx
2πi 0 i√(a^2 - x^2)
1 a cosh(xt)
= ── ∫ ─────── dx
π -a √(a^2 - x^2)
1 π
= ── ∫ cosh[t*a*cosθ] dθ by x = a*cosθ
π 0
ps:
以上寫的所有積分式皆為 "極限值"
也就是 ε→0 那些我已經考慮進去了 = =ll
不然真的寫出來會很醜 XD
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