[分析] [複變] Laplace 反轉換 1/√(s^2-a^2)

[G41271 (茶)]

Evaluate the inverse Laplace transform L^-1{(s^2-a^2)^-1/2}
by direct evaluation of the Bromwich integral.

所以是要證明

   1         γ+iL     e^(zt)          1  π
------ lim     ∫   ------------ dz = --- ∫ cosh(atcosθ) dθ = I0(at)
 2πi  L→∞ γ-iL  √(z^2-a^2)        π 0

γ>a>0
這種函數我不太確定分支切割要如何取,取了之後√(z^2-a^2)的幅角又要如何取
,懇請高手賜教.

我畫的contour是:

C1: z =γ-iL ~ z =γ+iL的直線.
C2: 圓心z=γ,半徑L的左上半圓.
C3: z = γ-L+iε ~ z = -a +iε的直線.
C4: z = -a +iε~ z = a+iε的直線.
C5: 圓心z=a ,半徑ε的右半圓.
C6: z = a-iε~ z = -a-iε的直線.
C7: z = -a-iε ~z =γ-L -iε 的直線.
C8: 圓心z=γ,半徑L的左下半圓.
C = C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8

這樣畫下來,I=0,I1是題目,I2和I8應該都等於0(不然不用算了),
I5本來想說是0,不過又好像不是(不確定),然後最讓我卡住的是I3I4I6I7.
我算到後來I4I6互消,I3和I7等值,反正就是湊不出答案.

不過呢,如果讓I3I7互消,I4I6等值(在一長串過程中的中間某一行偷加負號,
我在最後一刻這樣寫然後把作業交出去了),並說I5=0,那就得出答案了.

但是我取的幅角是不會讓這情況發生的,因此想說不知道我哪邊觀念有問題,
所以上來請教大家.

以下是我寫的,請幫我看看哪邊有問題:

C3: √(z^2-a^2) = e^iπ    √(x^2-a^2)
C4: √(z^2-a^2) = e^iπ/2  √(a^2-x^2)
C6: √(z^2-a^2) = e^iπ/2  √(a^2-x^2)
C7: √(z^2-a^2) = e^i0     √(x^2-a^2)

對C3來說z=x+iε,x從γ-L到-a, z^2-a^2 = x^2-a^2+2ixε,
它的實部是正,虛部是負,所以幅角是第四象限,
當ε趨於零時就是2π(因為我看z從-a到a是分支切割,所以就不取0當幅角),
所以√(z^2-a^2)= e^iπ√(x^2-a^2) .

C4,C6,C7也是按這想法下去寫的.

但這樣寫完後,就如前面所述,I4I6互消,I3和I7等值,寫不出答案.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.176.153
→ doom8199    :I3、I7 最後應該會 = 0
想不到你那麼快就回我了,感謝.
→ doom8199    :剩下的  I4、I6 , 一個是角度為 0在跑
→ doom8199    :一個是角度 = π 在跑 , 所以令 z=-k 代換
角度為零,角度為π,要怎麼看?
→ doom8199    :其實我覺得你積分路徑的 C2、C8 可以連起來
→ doom8199    :然後裡頭包個 "亞鈴" 狀的 closed contour
→ doom8199    :就能少證明 I3、I7 這部分了XD
這我倒沒想過,晚點試試看,不過我主要是想了解幅角的取法.
※ 編輯: G41271          來自: 140.114.66.151       (05/24 20:05)