Re: [分析] [複變] Laplace 反轉換 1/√(s^2-a^2)

[G41271 (茶)]

※ 引述《doom8199 (～口卡口卡　修～)》之銘言：
: ※ 引述《G41271 (茶)》之銘言：
: : Evaluate the inverse Laplace transform L^-1{(s^2-a^2)^-1/2}
: : by direct evaluation of the Bromwich integral.
: : 所以是要證明
: :    1         γ+iL     e^(zt)          1  π
: : ------ lim     ∫   ------------ dz = --- ∫ cosh(atcosθ) dθ = I0(at)
: :  2πi  L→∞ γ-iL  √(z^2-a^2)        π 0
: : γ>a>0
: : 這種函數我不太確定分支切割要如何取,取了之後√(z^2-a^2)的幅角又要如何取
: : ,懇請高手賜教.
: : 我畫的contour是:
: : C1: z =γ-iL ~ z =γ+iL的直線.
: : C2: 圓心z=γ,半徑L的左上半圓.
: : C3: z = γ-L+iε ~ z = -a +iε的直線.
: : C4: z = -a +iε~ z = a+iε的直線.
: : C5: 圓心z=a ,半徑ε的右半圓.
: : C6: z = a-iε~ z = -a-iε的直線.
: : C7: z = -a-iε ~z =γ-L -iε 的直線.
: : C8: 圓心z=γ,半徑L的左下半圓.
: : C = C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8
: : 這樣畫下來,I=0,I1是題目,I2和I8應該都等於0(不然不用算了),
: : I5本來想說是0,不過又好像不是(不確定),然後最讓我卡住的是I3I4I6I7.
: : 我算到後來I4I6互消,I3和I7等值,反正就是湊不出答案.
: : 不過呢,如果讓I3I7互消,I4I6等值(在一長串過程中的中間某一行偷加負號,
: : 我在最後一刻這樣寫然後把作業交出去了),並說I5=0,那就得出答案了.
: : 但是我取的幅角是不會讓這情況發生的,因此想說不知道我哪邊觀念有問題,
: : 所以上來請教大家.
: : 以下是我寫的,請幫我看看哪邊有問題:
: : C3: √(z^2-a^2) = e^iπ    √(x^2-a^2)
: : C4: √(z^2-a^2) = e^iπ/2  √(a^2-x^2)
: : C6: √(z^2-a^2) = e^iπ/2  √(a^2-x^2)
: : C7: √(z^2-a^2) = e^i0     √(x^2-a^2)
: ---
:     我昨天沒仔細看你的積分路徑
: 　　我發現你 C3 、 C4 有 "斷掉" 嫌疑
: 　　因為在你 ε→0 時
: 　　為了避開  z=-a  這個 pole
:     其瑕積分不會是真的  z = -a +iε 往下直接壓到 z=-a  (不然有可能會發散)
:     直觀上這裡 z=-a+iε 的 "a" 應該會 "稍微" 比真的 a 還要小一點點點
:     這樣會不會是 closed contour 就很難說了XD
:     所以才需要再多繞一個上半圓 (半徑=k , 圓心=-a+iε )
: 　　由  z= -a-k+iε   繞到   z= -a+k+iε
:     相同的
: 　　你  C6 、C7 也要做類似的處理
恩,OK~

: ----
:     反正最後只要考慮以下三個路徑:
: 　　　　  　　　　　 C4　 　  │
: 　　　  　　　　 　──→　 　│
:                               │　 ↑
:         ───┼───┼───┼─ │  C1
:              z=-a     z=0     z=a　│
: 　　　　　 　 　　　　　　　　│
: 　　  　　  　　 　←──　 　│
: 　　  　　　  　　　 C6　 　　│
:     在這裡定義   Re{z-a} <= 0   為 branch cut
: 　　　　　　　　 Im{z-a} =0

所以說 branch cut ,你是取實數軸,x從-∞到a嗎.

:     然後定義 z 的幅角為   -π < arg{z} < π
:     對 C4 來說
: 　　在  Re{z}<0  下 z 的幅角為 π  (實際上略小於 π)
:     在  Re{z}>0  下 z 的幅角為 0  (實際上略大於 0)
:       (   幅角的判斷就是拿極座標來看XD
: 　      　一個 複數 z 一定會有相對應的 |z| 和 arg{z}
:           又因為  arg{z} 被我定義只能繞一圈(實際上有斷)　　
: 　　　　　所以一定可以決定出唯一的 |z| 和 arg{z}  )
:     所以
:                e^(zt)
:     ∫    ──────── dz
:      C4   (z^2-a^2)^(1/2)
:      0        e^(-xt)            iπ      a           e^(xt)
:  =  ∫   ─────────── e   dx + ∫   ──────────── dx
:      a   e^(iπ/2) *√(a^2-x^2)           0   e^(iπ/2) * √(a^2-x^2)
           ~~~~~~~~~
e^iπ只是因為 z= -x+iε,所以dz=e^iπdx 這樣嗎?

另外我對第一個積分式的e^(iπ/2)√(a^2-x^2)有問題.
我用代數運算下去想: z= -x+iε, x從a到0

(z^2-a^2) = (-x+iε)^2 -a^2 = x^2 -a^2 - 2ixε.

這樣看來,x^2 -a^2 - 2ixε應該是在第三象限呀,
當ε趨於零時,幅角是-π(按你的定義,幅角要取-π到π之間)

所以這樣想後,我覺得(z^2-a^2)^(1/2)應該要等於e^(-iπ/2) *√(a^2-x^2)呀.

不過這樣寫下來,就變成sinh了.......

:      a     2*cosh(xt)
:  =  ∫   ─────── dx
:      0   i√(a^2 - x^2)
:     ps:  可以稍微在複數座標上點一下  z^2-a^2  大致會落在哪個位置上
:          你就可以判斷  arg{z^2 - a^2} = ?
:     相同的
:                e^(zt)
:     ∫    ──────── dz
:      C6   (z^2-a^2)^(1/2)
:      0         e^(xt)                   a           e^(-xt)           -iπ
:  =  ∫   ──────────── dx + ∫   ──────────── e    dx
:      a   e^(-iπ/2) *√(a^2-x^2)        0   e^(-iπ/2) * √(a^2-x^2)
                                              ~~~~~~~~~~
同樣的,按照我前面的想法,第二個積分式是z=-x-iε, x從0到a.

所以(z^2-a^2)^(1/2)應該要是 = e^(+iπ/2) * √(a^2-x^2) ,我覺得.


:      a     2*cosh(xt)
:  =  ∫   ─────── dx
:      0   i√(a^2 - x^2)
:     因此
:       1         γ+iL     e^(zt)
:    ─── lim  ∫      ────── dz
:     2πi  L→∞ γ-iL  √(z^2-a^2)
:        1              e^(zt)
: = - ─── ∫      ────── dz
:      2πi   C4+C6  √(z^2-a^2)
:        2    a     2*cosh(xt)
: = - ─── ∫   ─────── dx
:      2πi   0   i√(a^2 - x^2)
:      1   a      cosh(xt)
: =  ── ∫   ─────── dx
:     π   -a   √(a^2 - x^2)
:      1   π
: =  ── ∫   cosh[t*a*cosθ]  dθ       by   x = a*cosθ
:     π   0
:   ps:
:        以上寫的所有積分式皆為  "極限值"
:        也就是 ε→0  那些我已經考慮進去了 = =ll
:        不然真的寫出來會很醜 XD
有請解惑 > <

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◆ From: 112.104.106.5
※ 編輯: G41271          來自: 112.104.106.5        (05/26 00:13)
→ doom8199    :忘記說一點OTZ  , 幅角的看法，是要把 pole 當"圓心"
→ doom8199    :比如 C4 那條路徑上的每個點
→ doom8199    :對 z=-a 貢獻幅角 ~ 0 ,  對 z=a 貢獻幅角 ~ π
→ doom8199    :所以 arg{z^2-a^2} = π + (m+n)π
→ doom8199    :其中  m、n = 0,1
→ doom8199    :打錯OTZ , 是 arg{z^2-a^2} = π + 2(m+n)π
→ doom8199    :也就是  arg{(z^2-a^2)^(1/2)} = π/2 + (m+n)π
→ doom8199    :那這裡 m+n 的決定是根據前面所定義的範圍
→ doom8199    :arg{z^2-a^2} = π + 2(m+n)π = π
→ doom8199    :因此取 1/2 次方後，就只會取該多值函數的其中一支
→ doom8199    :其實我前面所畫的 branch cut , 是針對 z=a 這個pole
→ doom8199    :z=-a 我其實沒有點出來
→ doom8199    :但是根據你那個 contour 所包，應該也會往左畫吧XD
→ G41271      :了解 這樣應該就說得通了
不對,我又有問題了QQ.
看C3的話,z= -x+iε, x從∞到a , C3上的點對z=-a和z=a的幅角都是π,
,所以arg{(z^2-a^2)^(1/2)} = π,因此(z^2-a^2)^(1/2) = e^iπ√(x^2-a^2) .

      a       e^-xt
I3 = ∫ ----------------- (-dx)
     ∞  e^iπ√(x^2-a^2)

同樣的,看C7 ,z=-x-iε, (z^2-a^2)^(1/2) = e^(-iπ)√(x^2-a^2)

     ∞        e^-xt
I7 = ∫ -------------------- (-dx)
     a   e^(-iπ)√(x^2-a^2)

兩積分式差一個負號,積分順序顛倒,負負得正,所以I3=I7 .
這樣I3和I7消不掉耶,還是說I3=I7=0呢? 感覺不太會=0.
※ 編輯: G41271          來自: 112.104.106.5        (05/26 02:07)
→ G41271      :喔沒事,e^iπ= e^(-iπ)=-1,所以I3+I7=0,我腦殘...
推 doom8199    :修正一下我前面的推文QQ    就是前面提到的 (m+n)
→ doom8199    :把 n 刪掉，　只需要有一個變數即可
→ doom8199    :因為那是針對  (z+a)^(1/2) * (z-a)^(1/2) 所述
→ doom8199    :所描繪出來的多值函數會由 m、n 所控制
→ doom8199    :不過原題是 [(z+a)(z-a)]^(1/2) , 所以 branch 不會
→ doom8199    :那麼複雜 OTZ  。　　但解題過程都一樣就是了～～