[分析] Lebesgue Dominated Convergent Theorem

[kemowu (小展)]

如果把LDCT的條件 f_n→f a.e. 改成 f_n→f in measure
會不會有一樣的結果？

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我的想法是這樣子的
首先 converge in measure 會有一個子序列 f_{n_j}→f a.e.
由LDCT會有
             ∫f_{n_j} →∫f   as j→∞    (*)

再來我想證明
             ∫f_n →∫f   as n→∞

所以我要估計
      |∫f_n - ∫f|≦ ∫|f_n - f|
                   ≦ ∫|f_n - f_{n_j}| + ∫|f_{n_j} - f|

綠色的部份可以由(*)的結果控制

紅色的部份呢？是否與 Cauchy in measure 有關？
或是要加其他的條件？(定義的範圍是有限測度？)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.115.221.107
推 math1209    :這是積分非常好的性質之一. 將奇奇怪怪的補起來..
→ math1209    :你可以找一下 Royden 的書. 裡面有提到將逐點收斂
→ math1209    :條件拿走, 剩下 conv in measure 時, 依然保持收斂
→ math1209    :性定理的成立.
→ math1209    :我會先建議你想辦法證明 Fatou's lemma 成立.
→ math1209    :舉凡 那幾隻收斂性定理: LDCT, Fatou's lemma, MCT
→ math1209    :甚至更為廣義的 LDCT, etc. 都可將逐點收斂改掉..
→ math1209    :改成 conv in measure(依測度收斂).
推 LimSinE     :一數列的所有子數列都有子數列收斂至x，則原數列收斂