我以前用這個定理看的:
Thm.
f_n → f in measure and |f_n| ≦ g a.s. with g in L^p
then f_n → f in L^p
(f_n → f in L^p => ∫|f_n|^p dμ → ∫|f|^p dμ)
或是這個
Thm.
f_n → f in measure with f_n in L^p, TFAE
(1) |f_n|^p is uniformly integrable (u.i.)
(2) f_n → f in L^p
(3) ∫|f_n|^p dμ → ∫|f|^p dμ
從這個定理好像還可以看出來，當 f_n → f (a.s. or in measure)
積分收斂的充分條件: DCT, MCT
等價條件: f_n → f in L^1 , |f_n| u.i.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
以下有點問題，待修改
另外，
f_n → f vaguely 應該也行?
f_n → f vaguely and |f_n| < g in L^1, then f_n is u.i.
proof: g in L^1
=> Given ε> 0, exist A s.t.
∫_{|g|>A} |g| dμ < ε
sup_n ∫_{|f_n|>A} |f_n| dμ < sup_n ∫_{|g|>A} |g| dμ
= ∫_{|g|>A} |g| dμ < ε
=> f_n is u.i.
然後再用另一個定理:
Thm.
f_n → f vaguely and f_n is u.i. then
f is integrable and ∫|f_n|^p dμ → ∫|f|^p dμ ##
不過我以前學的都是finite measure
不太確定unbounded measure 會不會有 bug QQrz
※ 引述《kemowu (小展)》之銘言：
: 如果把LDCT的條件 f_n→f a.e. 改成 f_n→f in measure
: 會不會有一樣的結果？
: ----------------------------------------------------------
: 我的想法是這樣子的
: 首先 converge in measure 會有一個子序列 f_{n_j}→f a.e.
: 由LDCT會有
: ∫f_{n_j} →∫f as j→∞ (*)
: 再來我想證明
: ∫f_n →∫f as n→∞
: 所以我要估計
: |∫f_n - ∫f|≦ ∫|f_n - f|
: ≦ ∫|f_n - f_{n_j}| + ∫|f_{n_j} - f|
: 綠色的部份可以由(*)的結果控制
: 紅色的部份呢？是否與 Cauchy in measure 有關？
: 或是要加其他的條件？(定義的範圍是有限測度？)
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