推 goodGG :淚推 ︿(￣︶￣)︿ 06/01 16:21
※ 引述《kemowu (小展)》之銘言：
: n-1
: nx
: Let f_n = --------. Prove that
: 1 + x
: 1
: lim ∫ f_n(x) dx = 1/2.
: n→∞ 0
[此題在我碩士班時，我們一群人想了一堆辦法。這裡的辦法不要求簡單，而是希望可
以想到什麼程度。接下來提供的方法與我們當年想的有些許出入，我能想起來的就這
麼多了…]
Proofs.
1 1
(1) 將 ∫ f_n(x) dx ＝ ∫ 1/(1 ＋ x) d(x^n)
0 0
1 x^n
＝ 1/2 ＋ ∫ ---------- dx, by integration by parts.
0 (1＋x)^2
→ 1/2. (可用收斂性定理或者用夾擠定理證之).
(2) 命 δ 為小於 1 之正數，則區間可拆為 [0,δ] 以及 [δ,1]. 則所求為
1
∫ f_n(x) dx ＝ A_n ＋ B_n, 其中 A_n 與 B_n 定義如下：
0
δ
A_n ＝ ∫ f_n(x) dx, 利用夾擠定理(或收斂性定理) 可知 lim A_n ＝ 0.
0 n→∞
1
現在只需要證明 lim B_n ＝ 1/2, 此處 B_n ＝ ∫ f_n(x) dx,
n→∞ δ
1 n x^(n-1) 1 n x^(n-1)
考慮 ∫ ----------- dx ≦ B_n ≦ ∫ ----------- dx
δ 1 ＋ 1 δ 1 ＋ δ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
＝ (1/2)( 1 － δ^n) ＝ (1/(1＋ δ))(1 － δ^n)
則 lim sup B_n ≦ 1/(1＋ δ),
且 lim inf B_n ≧ 1/2.
藉由 δ 的任意性可知： B_n → 1/2.
(3) 上述可以進一步地談論若 integrand 長的是 n {x^(n-1)} g(x), 且 g 非負且
具有單調性. 其取極限後之答案皆為 g(1). 於是本題給了我們一個動機去考慮
integrand 為 {1/(1＋x) － 1/2}{n x^(n-1)}, 計算 integrand 可知
{1/(1＋x) － 1/2}{n x^(n-1)}
1 1
＝ ---‧-------‧{(1－x) ( n x^(n-1) )}
2 1 ＋ x
1 1 1
≦ ---‧ ------ ‧ ---------------------- (＊）
2 1 ＋ x (1 ＋ 1/(n-1) )^(n-1)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 有上下界 m(＞0), e.
≦ 1/(2m).
由於 integrand 顯然逐點收斂至 0. 於是，利用 Arzela 定理 (或說 BCT)
可知極限為 0. [也可利用廣義 Riemann-Lebesgue Lemma 證之].
(4) 在 (3) 裡又給了我們一個想法, 若 integrand 長的是 n {x^(n-1)} g(x),且
g 於 x＝1 連續且 g 可積，則透過 (2) 之法可知：藉由 g 於 x ＝1 之連續
性，給定一誤差 ε＞0, 存在一正數 δ 使得當 1－δ≦x≦1 時，我們有
|g(x) － g(1)| ＜ ε.
如此一來，積分分成兩個如下：
1 1－δ 1
∫ g(x)－g(1) dx^n ＝ ∫ g(x)－g(1) dx^n ＋ ∫ g(x)－g(1) dx^n
0 0 1－δ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(A) (B)
由 (2) 已知 (A) → 0. 且根據連續性可知 (B) → 0.
換言之，所求之極限為 1/2.
NOTE. (1) 我猜想可以使用 L-S 積分(此時 weight 扮演相當重要的角色)來作…
我想使用廣義的 LDCT (關於 f_n dμ_n), 但這涉及到我無法斷定 μ_n
是否逐集收斂 (即 setwise convergence). 若有此逐集收斂之結果，那
我們可利用廣義的 LDCT 去引極限 lim μ_n :＝ μ. 而 μ({1}) ＝ 1,
且 μ([0,1)) ＝ 0.
(2) 我也異想天開地想用 Riesz 表現定理，但我忽視了一件事：這談論的是
functional x_n^* 的 norm 而我要的是 x_n^* ( 1/(1＋x) ) 的極限…
(3) 假使先確定了"收斂性"後 [尚未確立，看起來沒辦法直接證明其收斂性。]
考慮其子列
1 x^(2n-1) + 1 1
(2n) ∫ -------------- － ----------- dx
0 1 ＋ x 1 ＋ x
＝ (2n) { 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... -1/(2n-2) + 1/(2n-1) - log 2 }.
→ 1/2. [不難證明，但蠻特殊的作法]
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