推 e04su3 :我覺得那個不等式似乎有點問題....... 07/11 23:02
推 e04su3 :不好意思 沒問題沒問題 看錯了.... 07/11 23:04
→ e04su3 :大推 這方法也不賴 厲害!!!! 07/11 23:05
※ 引述《e04su3 (wangjason是我小弟)》之銘言：
: http://rapidshare.com/files/406148458/__________________.doc
: 我想法是證明他有上界 且 遞增
: (遞減就很trival)
既然遞減可行，那證明{a_n}遞增勢必有困難
: 有上界很好確認 但遞增證不出來
: 還是這想法比較不太可行
: 有無版友可提供意見
: 謝謝
原題：{a_n},{b_n}為非負實序列
Σb_n < ∞, a_(n+1)≦a_n + b_n
證明lim a_n 存在
原po的方法似乎不可行，用遞減的{a_n}測試即可知
但是有界仍然是很重要的
由Bolzano-Weierstrass Thm.知{a_n}有收斂子序列{a_n }
k
又對於任意一個n，{n }中總是有兩個最靠近n的（一個不大於n，一個不小於n）
k
稱其中不大於n的為 m(n)，另一個不小於n的叫 M(n)
M(n)-1 n-1
所以有 a_M(n) - Σ b_j ≦ a_n ≦ a_m(n) + Σ b_j
j=n j=m(n)
（利用累加 a_(n+1)≦a_n + b_n 即可得到上式）
∞ ∞
所以 a_M(n) - Σ b_j ≦ a_n ≦ a_m(n) + Σ b_j
j=n j=m(n)
此時令n趨於無窮
可知M(n),m(n)亦趨於無窮，a_M(n),a_m(n)收斂到相同值
∞ ∞
又 Σb_n 收斂，所以Σ b_j, Σ b_j 都收斂到0
j=n j=m(n)
故由夾擠定理可知{a_n}收斂
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