[分析] 關於null set

[ericakk (雷射～痛痛><)]

Bartle課本 P.152 的一個Corollary提到說:

There are Lebesgue null subsets of Ｒ that contain uncountably many points.

並且舉一個例子說:

Cantor set contains uncountably many points.

但是我對Cantor set的認知是:

切割方法都是用有理數來切，有理數countable,

怎麼課本會說Cantor set contains uncountably many points??

感謝指教回答^^

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 58.115.75.19
→ k6416337    :Cantor set內的點包含所有用3進位表示下的點但每一
→ k6416337    :位數皆為0或2，也就是0.002022…(3進位)長相
→ k6416337    :可以用反證法證這些點所乘的集合是不可數的
→ k6416337    :對了 我指的是1/3切割的Cantor set
推 ppia        :不然你也可以從E+E={x+y|x,y in E}=[0,2]這件事來看
推 ppia        :構造Canter Set每個階段 每個interval都裂成兩段
→ ppia        :所以每個Cantor Set裡面的點都可以用一串如:
→ ppia        :(左左右左右右左左...)的字串標定
→ ppia        :該字串表示該點每個階段分裂以後是在右邊還是左邊
→ ppia        :因此Cantor Set的基數 = 2x2x2x... = 2^(#|N)=#|R
→ ppia        :原po你可能想成2+4+8+16+...= #|N但實際上是product
推 math1209    :這是 Baby Rudin 書上的"每個非空的 perfect set"
→ math1209    :in |R^n, 都是不可數集合.
→ math1209    :更一般的是, 將上述定理的 |R^n 拿走, 換成 complete
→ math1209    :與 separable.
推 ppia        :Is separability necessary?
推 math1209    :Counterexample in Analysis, p. 85. 作者我就不打了
推 math1209    :Counterexamples
→ ppia        :Isn't separability required only to ensure the
→ ppia        :cardinality of the set not exceed that of |R?
推 math1209    :看起來不像是, 當初我自己也發現這個廣義的結論.
→ math1209    :但我印象中我的證明不對. 原以為我的假設太少, 但
→ math1209    :由 Conterexamples in Analysis 中發現這可以被
→ math1209    :證明. So...
→ math1209    :我會想到這樣的結論, 是模仿 Rudin 書上的證明來走.