推 kemowu :你是對的 我再想想 07/27 22:49
※ 引述《kemowu (小展)》之銘言：
: ※ 引述《kemowu (小展)》之銘言：
: : Q2. Let f_n:E→R so that f_n→f pointwise on E, where E is an uncountable set.
: : Prove that there is an infinite subset A of E so that f_n→f uniformly on A.
: 自己回一下看看對不對
: Let ε>0 be given. Define
: E_n = {|f_n - f|≧ε} and A_N = ∪ E_n = {|f_n - f|≧ε for some n≧N}.
: n≧N
E_n 是? 是指這個嗎： { x│|f_n(x) － f(x)| ≧ε}
: Note that A_N↘. Since f_n→f pointwise on E, we have
: ∞ ∞
: ∩ A_N = empty, i.e., ∪ E-A_N = E.
: N=1 N=1
: Now since E is uncountable, there is an N such that E-A_N is infinite.
: Put A = E-A_N. Then if n≧N, |f_n - f|<ε on A.
: □
但這樣取A會有一個問題：
當ε變小時 A_N會變大 故E-A_N變小
而且取到的A = E-A_N的N
不一定和其他ε的N一樣吧?
也就是說 這樣取的A是會隨ε變動的
就沒辦法找到一個獨立於ε的A了
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