[分析] 證明有理數的稠密性?

[paggei (XD)]

現在剛學到關於dense的定義是

E is dense in X if every point of X is a limit point of E or a point of E.

想問如何證明Q在R中dense呢@@

目前只想到p∈R，若p不∈Q，則想證明p是Q的limit point.

如果用直接證法得用∀r>0，N_r(p)∩Q≠ψ 亦即∃q≠p使得q∈N_r(p)∩Q

可是我不會找q..所以後來又想用設q不存在的反證法，拿到C(Q)是open

Q是closed..? Q是closed可以導致甚麼矛盾嗎@@?

或是有沒有甚麼其他解法..orz

剛看過#1B0UUMli這篇證無理數的，可是會用到perfect set是uncountable的結果@@

還沒教 囧

麻煩各位@@

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◆ From: 114.41.207.158
→ paggei      :另外，想問Q^n在R^n中稠密的證法 囧
推 ntnusliver  :r是實數 先找一個 [a1 b1] ai,bi 為有理數
→ ntnusliver  :使得r在區間內   然後區間割兩半  端點仍為有理點
→ ntnusliver  :r必落在某一個(或兩個)區間內
→ ntnusliver  :如此...  可以找到一個 漸漸縮小的區間 [ai  bi]
→ ntnusliver  :端點皆為有理數   r落在每個[ai bi]內
→ ntnusliver  :且[ai bi] 包含  [a_i+1  b_i+1]
→ ntnusliver  :且 區間的長度漸漸收斂到0
→ k6416337    :證明任兩實數之間存在一個有理數
推 recorriendo :給任一實數x，找一個有理樹數列收斂至x就好了
→ recorriendo :最直觀的當然是寫成小數然後越取越多位 不過還是要用
→ recorriendo :ε-δ正經地證明一下真的收斂到x
→ paggei      :照理來說，根據定義我應該只能證R中的點屬於Q
→ paggei      :或者是Q的limit point這方法來證Q的稠密性啊..囧
推 recorriendo :是呀 但limit point和上面數列是等價的啊
→ recorriendo :換句話說你找到以上數列不就代表你找到了所需的neigh
→ recorriendo :borhood裡的點了