※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: : 我想請教一個關於複變中Moebius變換為conformal的問題
: : 因為一般mapping稱為conformal除了one-to-one
: : 還要滿足f'(z)=/=0
: : 可是對於Moebius變換顯然有一個pole = -d/c
: : az + b
: : f(z) = --------- (ad - bc =/= 0)
: : cz + d
: : 而且還必須考慮f(∞),f(-d/c),c=0及c=/=0的情況
: 如果你在意的事情只在complex plane上，那勢必不用考慮f(∞)
嗯，我在意extended complex plane
: : 這些也許可以用另外定義的方式使得Moebius變換擴增到extended complex plane
: 是的
: 首先我們先看看什麼是"extended complex plane"
: 基本上就是complex plane補上無窮遠點
: 那麼要怎麼拓寬f的定義呢？
: a + bw
: 我定義 g(w) = --------
: c + dw
: 然後當w跟z都不是0的時候，就可以用zw=1，來聯繫f與g
: 意思是：當zw=1時，f(z)=g(w)
: 所以本來的z=0，用w坐標來看的時候，就變成無窮遠點了
: 可是還是不夠，因為g仍然有pole：-c/d（跟f的pole是同一點）
對不起，有想了一下，還是有一些部分不是很了解，也想確認一下我有沒有理解錯誤
: 所以我們要擴展「值域」
: cz + d c + dw
: 考慮F(z) = --------，G(w) = --------
: az + b a + bw
: 而當f(z)跟F(z)都不是0的時候，可以用f(z)F(z)=1，來聯繫f與F
: 同理可以聯繫g與G
: 好處是：本來是f的pole的-d/c，在F來看是zero，一個普通有定義函數的點
: 另外我們知道，f'(z) = (d/dz)g(1/z) = -g'(1/z)/z^2 = -w^2*g'(w)
但是微分的情況我就不是很了解了
先考慮c != 0的情況: f(∞) = a/c
因為假設z_0 = ∞ = 1/w_0 => w_0 = 0
f'(z_0) = (d/dz)g(1/z)] = -g'(1/z_0)/[(z_0)^2] = -(w_0)^2*g'(w_0)
z_0
= -(0)^2*g'(0) = 0 (因為g'(0)有限)
這樣就做不到f'(z_0) != 0而是某個不為0的結果?!
現在考慮另一個c != 0的情況: f(z_1) = ∞，z_1 = -d/c，F(z_1)=0
f'(z_1) = (d/dz)(1/F(z))] = -F'(z_1)*F(z_1)^-2 = -F'(z_1)*(1/0)^2 = ∞
z_1
因為F'(z_1)有限
現在考慮c = 0的情況: f(∞) = ∞, z_3 = ∞
f'(z_3) = (d/dz)(1/G(w))] = (1/z_3)^2 * [G'(z_3)]^(-2) = (1/∞)^2*(有限) = 0
z_3
這樣就做不到f'(z_3) != 0的結果了
我覺得奇怪的是
就算再怎麼變換，微分的值都應該要相同，否則就是另外一個函數了
這樣不是就沒有意義了嗎?
我們做了這些代換
這三個有問題的情況最後的結果不是微分值=0就是∞
這樣子就得不出Moebius Transform在extended complex plane是conformal的結論了?
可以指導我一下是哪裡出問題了嗎?
感謝賜教
: 也就是說，在zw=1的情形下，f'(z)=/=0跟g'(w)=/=0完全是相同的條件
: 所以如果是要考慮f在無窮遠點的conformality，可以定義成檢查g'(w)=/=0
: 如果要考慮f在-d/c的conformality，
: 因為f'(z) = (d/dz)(1/F(z)) = -F'(z)*F(z)^-2
: 所以知道當f(z)F(z)=1，f'(z)=/=0跟F'(z)=/=0完全是相同的條件
: 所以可以定義成檢查F'(z)=/=0
: 不過如果不堅持用複數定義的話，可以想成是兩個球之間的conformal map
: : 但是f'(z)=/=0這一個條件要怎麼維持?
: : 查了一些書
: : 不知道是不是都是給初學者看
: : 似乎除了定義極限狀況狀況外
: : 根本都沒有提到怎麼讓f'(z)=/=0的部分
: : 希望強者能夠提供一下這部分的證明
: : 感謝回答
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 69.143.35.105