[分析] Apostol的一題

[bineapple (パイナップル)]

Let f:R^n→R^m be one-to-one and continuous.

If A is an open and disconnected subset of R^n,

show that f(A) is open and disconnected in f(R^n).

可以請高手給一點提示嗎??

謝謝!!

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泉こなた柊かがみ柊つかさ岩崎みなみ小早川ゆたか黒井ななこ小神あきら泉かなた水銀燈
カナリア翠星石蒼星石真紅雛苺雪華綺晶薔薇水晶柏葉巴柿崎めぐサラ涼宮ハルヒ長門有希
朝比奈みくる鶴屋さん朝倉涼子キョンの妹喜緑江美里ホロヤイレノーラ．アレントディア
ン．ルーベンスエルサ．シュティングハイムエーブ．ボラン竜宮レナ園崎魅音北条沙都子
古手梨花羽入園崎詩音高町なのはフェイト．テスタロッサアリサ．バニングス月村すずか
美浜ちよ春日歩滝野智水原暦榊さん神楽かおりん谷崎ゆかり黒沢みなも川嶋あいみのりん

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 210.69.35.10
※ 編輯: bineapple       來自: 210.69.35.10         (10/25 11:50)
推 jacky7987   :全部照定義做就對了
→ jacky7987   :要證明F(A)是OPEN就是給一點x在F(A)裡面，找一個球
→ jacky7987   :證明球都會落在F(A)裡面
→ jacky7987   :當然用反證法比較快(突然想到XDDD)
→ bineapple   :厄...就是找不到那個球@@
→ bineapple   :主要是想不到該如何用有反函數這個性質...
→ Sfly        :易證反函數是連續, 因此 f(A)是open 且f^(-1)保連通
→ Sfly        :因此 f(A)不是connected.
→ bineapple   :我證出來了 不過是用 Cantor intersection theorem
→ bineapple   :想請問如何證f^(-1)是continuous呢?
推 jacky7987   :用inverse image+反證法比較好證
→ bineapple   :我用一堆decreasing的閉球去包f(A)中的一點 然後證明
→ bineapple   :當閉球夠小後 一定會整個落在f(A)裡面 去掉boundary
→ bineapple   :就得到開球落在f(A)中 再來證disconnected是trivial
推 keni1990    :想知道一樓是怎麼證的,感覺找不到矛盾 @@