推 G41271 :好吧 我算看看 再來回復你 11/20 22:04
→ G41271 :如果是在線上的話 科西主值是要乘πi而非2πi 11/20 22:07
在解工數的其中一題
π cosθ
題目：Evaluate ∫ ----------- dθ, -1 < a < 1
0 cosθ - a
method 1：直接用｜z｜= 1 之單位圓套用留數定理
1 π cosθ
原式 = ---∫ ----------- dθ
2 -π cosθ - a
1 1
---(z + ---)
1 2 z 1
= --- * ∮ * ------------------ * ---- dz
2 |z|=1 1 1 iz
---(z + ---) - a
2 z
1 -i(z^2 + 1)
= --- ∮ ------------------ dz
2 z(z^2 - 2az + 1)
1 ˍˍˍ ˍˍˍ
= --- * {2πi * [Res(0) + Res(a + √1 - a^2 i ) + Res(a - √1 - a^2 i)]}
2
-i(z^2 + 1) ｜
其中 Res(0) = ---------------｜ = -i
z^2 - 2az + 1 ｜z = 0
ˍˍˍ -i(z^2 + 1) ｜
Res(a + √1 - a^2 i) = ----------------｜ ˍˍˍ
3z^2 - 4az + 1 ｜z = a + √1 - a^2 i
ˍˍˍ
-i*(2a^2 + 2a√1 - a^2 i)
= ---------------------------------------------------------
ˍˍˍ ˍˍˍ
3*(2a^2 - 1 + 2a√1 - a^2 i) - 4a*(a + √1 - a^2 i) + 1
ˍˍˍ
-i * (a^2 + a√1 - a^2 i) -i
= --------------------------- = -i + ------------------------
ˍˍˍ ˍˍˍ
a^2 + a√1 - a^2 i - 1 a^2 + a√1 - a^2 i - 1
ˍˍˍ -i(z^2 + 1) ｜
Res(a - √1 - a^2 i) = ----------------｜ ˍˍˍ
3z^2 - 4az + 1 ｜z = a - √1 - a^2 i
ˍˍˍ
-i*(2a^2 - 2a√1 - a^2 i)
= ---------------------------------------------------------
ˍˍˍ ˍˍˍ
3*(2a^2 - 1 - 2a√1 - a^2 i) - 4a*(a - √1 - a^2 i) + 1
-i * (a^2 - a√1 - a^2 i) -i
= --------------------------- = -i + ------------------------
ˍˍˍ ˍˍˍ
a^2 - a√1 - a^2 i - 1 a^2 - a√1 - a^2 i - 1
ˍˍˍ ˍˍˍ
故 Res(0) + Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i)
-i -i
= -i - i + ------------------------ - i + ------------------------
ˍˍˍ ˍˍˍ
a^2 + a√1 - a^2 i - 1 a^2 - a√1 - a^2 i - 1
ˍˍˍ ˍˍˍ
-i * (a^2 + a√1 - a^2 i - 1 + a^2 - a√1 - a^2 i - 1)
= -3i + --------------------------------------------------------
(a^2 - 1)^2 + [a^2 * (1 - a^2)]
-i * (2a^2 - 2)
= -3i + ----------------- = -i
1 - a^2
故所求 = πi * (-i) = π
首先感謝耐心看完 method 1，接下來是method 2......
method 2：對積分前的函數取實部
1 π cosθ
原式 = ---∫ ----------- dθ
2 -π cosθ - a
iθ
1 π e
= --- * Re[∫ ----------- dθ]
2 -π cosθ - a
1 z 1
= --- * Re[ ∮ ------------------ * ---- dz]
2 |z|=1 1 1 iz
---(z + ---) - a
2 z
1 -2iz
= --- * Re[∮ --------------- dz]
2 z^2 - 2az + 1
1 ˍˍˍ ˍˍˍ
= --- * Re{2πi * [Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i)]}
2
ˍˍˍ -2iz ｜
其中 Res(a + √1 - a^2 i) = ---------｜ ˍˍˍ
2z - 2a ｜z = a + √1 - a^2 i
ˍˍˍ ˍˍˍ
-i*(a + √1 - a^2 i) -a - √1 - a^2 i
= ---------------------- = ------------------
ˍˍˍ ˍˍˍ
√1 - a^2 i √1 - a^2
ˍˍˍ -2iz ｜
Res(a - √1 - a^2 i) = ---------｜ ˍˍˍ
2z - 2a ｜z = a - √1 - a^2 i
ˍˍˍ ˍˍˍ
-i*(a - √1 - a^2 i) a - √1 - a^2 i
= --------------------- = -----------------
ˍˍˍ ˍˍˍ
-√1 - a^2 i √1 - a^2
ˍˍˍ ˍˍˍ
故 Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i) = -2i
1
所求 = --- * Re[2πi * (-2i)] = 2π
2
想請問的有以下幾點：
1. 此題正確答案為π
所以想知道 method 2 當中步驟哪裡有錯
又對積分取實部或虛部這個方法是否有所限制？限制條件為何？
(不弄清楚這點我以後都不敢亂取實部......雖然相較之下超方便)
ˍˍˍ ˍˍˍ
2. 此題的兩個奇點： z = a + √1 - a^2 i 、 z = a - √1 - a^2 i 都在單位圓上
之前複習書上發現留數定理都是在討論C「內」的奇點
那麼在C上的奇點也可以同樣使用嗎？是否有需要注意的地方？
3. 想請問留數定理是否有以下的性質：
ˍ ˍˍˍ
Res(z1) = Res(z1)
ˍ ˍˍˍ
其中 z1 為 z1 之共軛複數、Res(z1) 為 z1 的留數之共軛複數
發現書上很多題都用了這個手法
可是像這題 method 1 將兩個複數的留數整理後發現因為沒有虛部所以看不出來
method 2 則是不符合這個性質
反而是實部的地方差了個負號
所以想問一下究竟這個等式是否成立？又是否有成立條件？
感謝各位大大耐心的閱讀與回答～～
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