[分析] 分享關於 fourier transform

[microball (無華之果)]

若有錯誤或其他建議，歡迎批評指正 Orz...我的程度只有到高微 :{
不過在工數常常用到 fourier 轉換，所以自己整理了一些筆記

==

剛接觸 Fourier 轉換時覺得滿難的，因為計算很多積分的時候發散，
必須要 "旁敲側擊" 用一些背下來的技巧去推導出結果 (可能是 delta function 等)
這也讓我覺得 Fourier 轉換是個難以理解的東西，
因為按照課本定義，有些函數 pair 根本就不可積，但偏偏這些函數又很常用。

我覺得較為符合邏輯，又不需用到太抽象的實分析的定義是這樣：
(這篇文章內，如果積分區間是正負無限大，都省略不寫
 limit 的極限如果是無限大，也省略不寫)

[a1] 若積分 G(w) =∫g(t) exp(-iwt) dt 存在，則令 Ｆ[g(t)] = G(w)

[a2] 若∫g(t) exp(-iwt) dt 積分發散，
     而函數 g(t) = lim gn(t)   (n是下標)
     且積分 G(w;n) = ∫gn(t) exp(-iwt) dt  對於 n->∞ 都存在
     則令 Ｆ[g(t)] = lim G(w;n) = G(w)

這樣的定義就可以解決 delta 函數，常數函數，和三角函數等的 Fourier 轉換問題。
換言之，對於積分不收斂的函數，雖然 Ｆ[lim g(t)] 不等於 lim Ｆ[g(t)]
我們還是可以給予後者一個相對應的 G(w)

對於積分發散的函數，我們必須構造一組積分收斂的函數數列，來推測其 G(w)
最基礎的定理是 Fourier integral theorem:

Thm: 假設 g(t) 屬於 Ｌ(-∞,∞), 而且 g(t) 在 (-∞,∞) 的變動是有界的，
     則對於任一點 t,
                                          a
  [ g(t+) + g(t-) ]/2 = [1/(2π)] * lim  ∫  Ｆ[g(t)] exp(iwt) dw
                                   a->∞ -a

這明顯的提示了我們可以定義所謂的 Fourier 逆轉換，
在哪些條件下， g(t) 經過轉換，再經過逆轉換之後，會回到原本的 g(t) 呢？
從定理看來，如果再加上函數處處連續的條件就可以了

事實上，如果函數有可數的不連續點，假設 t 在 H = {t0,t1,...} 不連續
那麼 g(t) 轉換後，再轉換回來，函數在連續的部份定義都不會變
只有 H 裡面的這些點，函數的值會變成左極限和右極限的平均值
(也就是 almost everywhere g(t) 在轉換/逆轉換後是不變的)
所以除了定理需要的條件，即使只多加 piecewise continuous，
函數的 "轉換/逆轉換" 算是有很良好的性質。

值得一提的是，在逆轉換的過程，積分的定義是 cauchy principle value
雖然這讓一些逆轉換的積分從發散改成收斂，但是並沒有解決所有問題
例如 delta function δ(t) 轉換後得到常數，
這個常數在逆轉換上無論怎麼定義積分，都不會簡單得到 δ(t)
(只能得出和 δ(t) 一致的結論，但無法估計該函數的積分面積是多少)
所以比較踏實的定義方法，還是必須倚賴前面 [a2] 的定義：從函數數列來計算。

*

首先先計算函數裡面的模範生：常態分布 g(t) = sqrt(n/π) exp(-ntt)
這個函數的 Fourier 積分收斂，只要靠湊項分解就可以計算：

Ｆ[g(t)] = sqrt(n/π)* exp[-ww/(4n)] * ∫exp {-n*[t+(iw/2n)]^2} dt

最後這個積分，可以在複數平面上找合適的封閉長方形路徑，
證明對於所有的 z=t+ki, k是任意實數，∫exp(-nzz)dt = ∫exp(-ntt)dt
因此，Ｆ[g(t)] = exp[-ww/(4n)]。

值得一提的是，原本 g(t) 是平均為0，標準差為 1/sqrt(2n) 的常態分布
轉換後的 G(w) 並沒有 normalize，
若加上 prefactor 使 G(w) 成為一個分布的話，那麼他的標準差是 sqrt(n)。
所以對於高斯函數，原分布的分布越廣，轉換後的分布越窄，
這在量子物理上剛好對應到位置和動量之間的關係。

*

接著利用常態分布的結果，以及 [a2] 的定義，我們計算δ(t) 和 1 的 Fourier 轉換

令 g(t;n) = sqrt(n/π) exp(-ntt),
   h(t;m) = exp(-tt/m),

則 lim(n->∞) g(t;n) = δ(t),
   lim(m->∞) h(t;m) = 1.

Ｆ[δ(t)] = lim(n->∞) Ｆ[g(t;n)] = lim(n->∞) exp[-ww/(4n)] = 1
Ｆ[1]     = lim(m->∞) Ｆ[h(t;m)] = lim(n->∞) sqrt(mπ) exp[-mww/4]  (*)

(*) 這個極限，可以看出當 w=0的時候會發散，
而w不等於0的時候，由羅必達法則可以知道極限為0。
這和 δ function 是一致的，但是我們不知道前面有沒有其他 prefactor...

因此，比較適當的方法是回頭研究一下 Ｆ[h(t;m)] = sqrt(mπ) exp[-mww/4]
事實上，一個趨近 δ function 的函數數列，每個函數的積分面積都必須等於1的。
因此我們可以對 Ｆ[h(t;m)] 前面的常數做分解：

sqrt(mπ) exp[-mww/4] = (2π) {sqrt(m/4π) exp[-mww/4]}
而大括號內的函數，對於任意m，其積分區域都是1，最後會趨近δ(w)
因此我們可以知道 lim(n->∞) sqrt(mπ) exp[-mww/4] = 2πδ(w)

小結：Ｆ[δ(t)] = 1,   Ｆ[1] = 2πδ(w).

也許有人會提出：當我們計算出 Ｆ[δ(t)] 之後，就可以利用一些變數代換的方法
以及 Fourier 轉換/逆轉換的對稱性，求得 Ｆ[1] 。
以結果來說這是對的，但是中間的過程嚴謹程度值得討論：

若不牽涉到實分析程度的 Fourier 轉換，而只用 [a1], [a2] 的方式定義 Ｆ[g(t)]
那麼 Fourier 轉換/逆轉換的對稱性，是由 Fourier integral thm 提供的。
這個定理並不一定能直接應用到任意函數數列的極限函數。
事實上當我們用 [a2] 定義了一些更廣義的 G(w)，
以上還沒有證明這些 G(w) 的逆轉換存在，且有良好的性質可以回到 g(t) 本身
以上也沒有證明，若多個函數數列都收斂到 g(t)，不同數列定義出的 G(w) 會相同

物理直覺上我們相信，取函數數列極限後的 g(t) <-> G(w) 一定仍保持某種對應關係
但是要嚴謹的證明這點，應該是超出一般高微的程度。
在常見的例子裡面，[a2] 已經可以 consitent 的計算出正確的函數。


--

                      ~因為生活已經太複雜了
                              所以就讓我們的愛情單純吧~

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 98.221.193.148
推 ntust661    :^^/
推 ntust661    :其實很多都要用到更廣義的定義的思考轉換
→ ntust661    :感覺Fourier 跟generalized function 常常會扯在一起
→ ntust661    :冏
推 ntust661    :然後定義更多δfunction的形式，就能解更多轉換了ˊ
推 WINDHEAD    :推薦這篇文章。
→ WINDHEAD    :我自己比較喜歡用 exp(2πiωx) 做積分, 因為這樣子
→ WINDHEAD    :跟 Fourier Series(ω取整數時)是一致的, 也不用
→ WINDHEAD    :擔心前綴的係數(跟π有關)
推 ntust661    :同上的話不用考慮係數比較好 冏> 可是習慣改不過來了
→ ntust661    :我常常會思考，積分會發散的原因到底是什麼
→ ntust661    :第一個讓我懷疑的原因就是 i XDD
推 WINDHEAD    :會發散最主要原因是原函數本身在實數軸積分值發散
→ WINDHEAD    : exp(iωx)當ω非零時,還有機會因為震盪抵消掉會
→ WINDHEAD    :發散的正負值,但是ω=0時就全靠原函數的表現啦
推 ntust661    :或許我們選擇不同的路徑，可以得到收斂的解?