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不好意思,小弟想請教一個問題: (本題出自Stein & Shakarchi的Complex Analysis第64頁第2題) Show that ╭∞ │ sin(x) π │ ──── dx = ── (不好意思,這裡無法打整齊) ╯0 x 2 依照提示,小弟沿著內部半徑為ε,外部半徑為R的indented semicircle以逆時針方向對 e^(iz)-1 ───── 搞積分,但在沿外部的大半圓(半徑為R)積分時遇上麻煩 z (小弟知道沿半徑為ε的小半圓積分得到的結果是0),不知該如何生出i這個虛數來 懇請各位高手提供一點提示,感激不盡!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.116.118.4
a016258 :如果不用複變積 可以考慮 f(t)=∫e^(-tx)sinx / x 10/06 23:21
a016258 :對 t微分 解微方^^ 10/06 23:21
a016258 :複變沒學好...愛莫能助Orz 10/06 23:22
sato186 :352篇 10/06 23:31
chungweitw :e^(iz)-1 怎麼來的? 10/06 23:36
chungweitw :e^(iz)-e^(-iz) 才對吧. 然後大半圓積分會是零. 10/06 23:36
chungweitw :證明請看 Jordan's lemma 的證明 10/06 23:37
vincentflame:回樓上,積[e^(iz)-1]/z是課本題目的提示 10/07 00:03
SilentHell :大半圓時z=R*e(iθ) 10/07 01:59
G41271 :小半圓時不會是零呀 10/07 18:49
SilentHell :小半圓是-pi*i吧 10/07 23:22
vincentflame:感謝各位大大的回答!!小弟已經解決了!! 10/07 23:54
vincentflame:其實題目的提示是說算出那個積分[e^(iz)-1]/2iz 10/07 23:57
vincentflame:算完就是答案 10/07 23:57
vincentflame:而那其實是代Euler公式會得到的結果 10/07 23:58
vincentflame:小弟去問老師,還有另一作法,就是直接積e^(iz)/z 10/07 23:59
vincentflame:然後要注意方向 10/08 00:00
vincentflame:積分時要沿indented的半圓積分 10/08 00:01