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作者VFresh (車干)
看板Math
標題Re: [分析] 兩題跟uniformly continuous有關的題目
時間Fri Oct 1 23:40:27 2010
※ 引述《king31815 (口八押係)》之銘言： : 這是我在zygmund實分析的第一章看到的題目 : _ : 1. If f is defined and uniformly continuous on E, show there is a function f : _ _ : defined and continuous on E(closure) such that f=f on E. : 2. If f is defined and uniformly continuous on a bounded set E, show that f : is bounded on E. : 這兩題我在rudin跟apostol上都有看到類似的習題，但是卻都是跟R^n空間有關，像是第一 : 題的codomain就是在R上，而第二題的domain是在R^n上，所以一個可以利用完備性，一個 : 可以利用Heine-Borel thm，就可以解決，所以也令我懷疑這兩題的命題是否有錯。 : 想麻煩高手為我解答了~拜託~ 大略說一下 uniformly cts function 會把 Cauchy seq. 送到 Cauchy seq. 任取點 a 於 cl(E) (closure of E), 若 a 不在 E 中 我們可找 xn -> a, 考慮 {f(xn)} 是 Cauchy seq, 其收斂之點定義成 f(a) 這樣定義方式要確認well-define(就是考慮別的數列 需要收斂至同一值) 然後題目所要的性質就請自行驗證啦 第二題你就用第一題的結果 先擴張至 cl(E). 但考慮 cl(E)是個compact, 因此有界 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.25.55.196
→ king31815 :第二題不能用compact 還有第一題的收斂性需要用到 10/01 23:50
→ king31815 :完備性 才能保證有收斂值 10/01 23:51
→ VFresh :請問R^n裡面沒有完備嗎... 10/01 23:54
推 sato186 :其實他也沒說在R^n.... 10/01 23:59
→ VFresh :所以是在一般拓樸空間? 10/01 23:59
→ king31815 :對...就是因為他是在一般拓樸空間才令我覺得困擾 10/02 00:00
→ VFresh :那請問一下...一般拓樸空間的uniformly cts怎麼定 10/02 00:03
推 sato186 :應該是metric space吧 10/02 00:05
→ VFresh :同意樓上...Orz 10/02 00:06
→ king31815 :uniformly conti本來就是定在拓樸空間的東西阿 10/02 00:07
→ king31815 :你只是把metric space都弄成是R^n了 10/02 00:07
→ VFresh :一般拓樸沒距離吧...= =a 10/02 00:07
→ VFresh :我是把這題當作R^n 並沒有把所有metric space當作R^n 10/02 00:08
→ VFresh :只是這題目的出處 我才這樣推斷 10/02 00:08
推 zombiea :一般的拓撲空間需要另外定義uniformly space... 10/02 00:13
→ king31815 :這裡是定義在matric space上吧 是測度空間不是一般 10/02 00:25
→ k6416337 :印象中Zygmund前幾章都是討論f:R^n->R bar而已 10/02 00:25
→ king31815 :拓樸空間 http://0rz.tw/DNj7I 10/02 00:27
→ king31815 :應該說是第2章開始 第一章全部都是在講高微 10/02 00:28
→ VFresh :因為你前面說是一般空間...Orz 10/02 00:29
→ VFresh :不過言歸正傳啦 個人覺得那本書應該是講R^n 10/02 00:29
→ king31815 :那這樣的話應該會在題目上面提到才對... 10/02 00:31
推 ppia :2.的話即便f:X→|R, X is a metric space也不對 10/02 00:32
→ king31815 :樓上會錯意囉 第2題我說的是domain 10/02 00:33
→ VFresh :囧 好啦當我這篇亂PO的 因為是這本書 我全部當作R^n 10/02 00:34
→ king31815 :囧... 還有這招= = 10/02 00:35
推 ppia :X={(0,0,..0,1,0,...):=p_n}ㄈl^2 10/02 00:35
推 ppia :well, 如果你要這樣說的話, 可以令X=E, 且X=E本身 10/02 00:38
→ ppia :complete 10/02 00:38
推 ppia :1.的話 只要EㄈX都是metric space, f:E→|R的話 10/02 00:45
→ king31815 :但是他是證明題不是舉例子，需要的是for all不是存在 10/02 00:46
推 ppia :我是在推翻題目－ － 不是證明.... 10/02 00:47
→ ppia :上面沒打完, 只要這樣的話, V大的證明就apply 10/02 00:47
→ ppia :2.對general metric space EㄈX不成立 所以V大的假設 10/02 00:48
→ ppia :有道理 10/02 00:48
→ ppia :你對1.的完備性指的是對映域? 10/02 00:49
→ king31815 :恩 1. f:E=(0,1)ㄈR→Y=(0,1), f(x)=x 就是反例了 10/02 00:55
推 ppia :另外, 如果都是metric space,那麼 E is totally bdd 10/02 00:59
→ ppia :<=>for all uniform continous f:E→|R, f is bdd. 10/02 00:59
→ VFresh :個人認為你限定對應域不是一個很好的反例 10/02 01:02
推 ppia :雖然沒看過Zygmund,但怎麼看都像是|R^n→|R... 10/02 01:02
→ king31815 :既然題目沒說，那我任意定都是OK的阿，況且總不能一 10/02 01:06
→ king31815 :廂情願的認為他是R^n→R吧= = 10/02 01:07
→ VFresh :我想你會一直發現那本書有許多"錯誤" 10/02 01:13
推 king31815 :maybe...後面就開始進入實變的部分了，我想應該還好 10/02 01:19
→ VFresh :Orz 10/02 02:09