[分析] 單調遞增函數的不連續點

[LeeSeDol (嘖嘖...)]

Rudin 課本 4.31 Remark的例子

教授修改後於課堂上講解, 但不是很懂, 請教一下大家~

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{x_n} = {x_1,x_2,.......} 代表 (0,1) 間所有的有理數

{c_n} = {1/2, 1/4, 1/8,......} 為一收斂數列

所以每個 x_j 會有個相對應的 c_j

令 f(x) = sum  c_k    ,0<x<1
          x_k<x

舉例而言: f(π/4)的值就是將"比π/4小的有理數列相對應的c數列"加總

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如何說明 f 在 無理數點 連續？ (0,1)之間

我跟同學討論出的說明都滿失敗的... 因為該說明拿來套用在 有理數點

竟然也說得過去... 可是有理數點明明不連續, 應該是想錯了。

請教大家! 謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.25.188.171
→ Xixan       :先不論你令的f是什麼，你舉例的那句話是不可能的
→ Xixan       :比pi/4小的有理數沒有最大的…
→ Xixan       :再說你令的那個f本身並沒有意義…
抱歉, 敘述有誤我修改一下~ 謝謝指正
※ 編輯: LeeSeDol        來自: 114.25.188.171       (11/19 22:16)
→ yhliu       :f(x) 是單調增函數, 其不連續點必為 jump 型不連續.
→ yhliu       :而依定義, f(x) 在且僅在所有有理數點有 jump, 因此
→ yhliu       :它在有理數點不連續而在無理數點連續.