※ 引述《LeeSeDol (嘖嘖...)》之銘言：
: Rudin 課本 4.31 Remark的例子
: 教授修改後於課堂上講解, 但不是很懂, 請教一下大家~
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: {x_n} = {x_1,x_2,.......} 代表 (0,1) 間所有的有理數
: {c_n} = {1/2, 1/4, 1/8,......} 為一收斂數列
: 所以每個 x_j 會有個相對應的 c_j
: 令 f(x) = sum c_k ,0<x<1
: x_k<x
: 舉例而言: f(π/4)的值就是將"比π/4小的有理數列相對應的c數列"加總
: ================================================================
: 如何說明 f 在 無理數點 連續？ (0,1)之間
: 我跟同學討論出的說明都滿失敗的... 因為該說明拿來套用在 有理數點
: 竟然也說得過去... 可是有理數點明明不連續, 應該是想錯了。
: 請教大家! 謝謝
設 α 為無理數。我們以下要證明的是 f 在 α 連續。
給定 ε>0，會存在一個自然數 N 使得 sum( c_i, i=N+1..infinity ) < ε。
因為 x_1, x_2, ..., x_N 為有限個有理數，故存在一個 δ > 0
使得 |α - x_i| >= δ, for all i = 1, 2, ..., N.
現在對所有的 y 在區間 (α-δ, α+δ) 之間，
請驗證： |f(y) - f(α)| < ε.
(理由：在 f(y) 和 f(α) 的兩個級數中，不一樣的項一定都在 c_(N+1), ...
之後，既然尾巴的和已經小於 ε 了，其部份和亦必小於 ε.)
證畢。
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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