[分析] 一題很常見的高微

[bineapple (パイナップル)]

If f''(a) exists, show that



               f(a+h) - 2f(a) + f(a-h)
f''(a) = lim--------------------------------
         h→0             2
                         h


以前有做過 可是忘記怎麼做了

應該要用mean value theorem....吧?

可是用了之後會跑出的不確定的點又不知如何處理

有大大可以提示一下嗎 謝謝~

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◆ From: 111.83.40.12
推 mack        :[h(a+h)-2f(a)+f(a-h)]/h^2=
→ mack        :{[h(a+h)-f(a)]/h-[f(a)+f(a-h)]/h}/h
→ bineapple   :接下來是把分子的兩個寫成f'(c)和f'(d)嗎?
→ bineapple   :如果是的話該怎麼處理c和d在h趨近0時的情形呢?
→ yhliu       :分子第一項 f(a+h) 誤植為 h(a+h).
感謝 已修改
→ yhliu       :可用 l'Hopital's rule 嗎? 或者用 Taylor's Theorem
羅畢達不行(不然就秒殺了...) Taylor's Thm.可以
※ 編輯: bineapple       來自: 210.69.35.10         (11/08 08:37)
→ yhliu       :mack 的方法是可行的. 首先定義:
→ yhliu       :g(h)=[f(a+h)-2f(a)+f(a-h)]/h if h≠0, g(0)=0
→ yhliu       :哦...還是不行! orz  可能要請 mack 來解.
→ yhliu       :若有 Cauchy MVT, 直接引用就簡單了.
推 GaussQQ     :為甚麼羅必達不行?
推 GaussQQ     :用兩次羅比達 或是用一次羅比達後 用微分的定義
→ GaussQQ     :取決於你羅比達的條件 Rudin的羅比達條件是可微分
→ bineapple   :因為這題目出來時羅畢達還沒有出來
→ GaussQQ     :你說可以用泰勒定理 那泰勒定理就imples羅必達阿
→ GaussQQ     :所以可以用一次羅必達 在用微分定義
→ yhliu       :用 Taylor's expansion with remainder 就直接解決了
→ bineapple   :用到二次嗎 他沒說三次可微...
→ yhliu       :f(a+h)=f(a)+h f'(a) +(h^2/2)f"(a+th) for some t
→ yhliu       :發現問題...只說 f"(a) 存在, 所以 Taylor 公式不行.
→ bineapple   :有個提示是原式可寫成(f'(a+th)-f'(a-th))/h 0<h<1
→ bineapple   :不過t也是會跟著h變化 所以不知怎麼處理
→ bineapple   :如果能證t converges to 1/2 as h converges to 0 就
→ bineapple   :簡單了
→ yhliu       :那個提示是來自 Lagrange MVT. 但 t 根本無法確定.
→ yhliu       :若用 Cauchy MVT, 則令 F(h)=f(a+h)-2f(a)+f(a-h),
→ yhliu       :G(h)=h^2, F(h)/G(h)=(f(a+th)-f(a-th))/(2th) for
→ yhliu       :some t in (0,1). 與應用 Lagrange MVT 比較, h 被換
→ yhliu       :成 2th. 但兩者的 t 並不相同.
→ yhliu       :應用 Cauchy MVT 的結果, 直接以 h' 代 th, 再應用導
→ yhliu       :數定義及 h->0 ==> h'-> 0, 即得結果.
→ yhliu       :與應用 Lagrange MVT 比較, 分母的 h 被換成 2th.
→ yhliu       :Cauchy MVT: (f(a)-f(b))/(g(a)-g(b))=f'(c)/g'(c)
→ yhliu       :for some c 在 a 與 b 之間.
→ yhliu       :我前面打錯了! F(h)/G(h)=(f'(a+th)-f'(a-th))/(2th)
→ bineapple   :啊 我都忘了有general的版本可以用了 感謝~~