推 czk0622 :科科 11/15 08:48
推 smartlwj :軒哥一大早就來發文了... 11/15 09:06
※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之銘言：
: 1.Let f be a bounded measurable function on E. Show that there are
: sequences of simple functions on E,{Hn} and {Jn}, such that {Hn}
: is increasing and {Jn} is decreasing and each of these sequences
: converges to f uniformly on E.
: 2.Let f be a measurable funtion on E that is finit a.e on E and
: m(E)<∞.For each e>0,show that there is a measurable set F contained
: in E such that f is bounded on F and m(E~F)<e.
: 第一題我想應該是要用Approximation Theorem
: 可是不知道怎麼找
: 第二題一點頭緒都沒有
: 感恩感恩
第二題 考慮 Ek = {x | |f(x)|< k }
因f finite a.e., 因此存在 m(Z) = 0 使得 f finte on E\Z.
考慮 Ek 上升 至 E\Z, 因此 m(Ek) -> m(E)
找足夠大 k 使得 m(E)-m(Ek) < e, 此 F = Ek 即為所求
第一題...提供一個小想法...此法用於非負
不過考慮f^+ 和 f^- 就好了
令 M = sup f,
n
Σ (Mk/2^n)χ_{x| Mk/2^n ≧ f(x) ＞ M(k-1)/2^n}
k=1
其中χ是特徵函數
基本上想法是切割值域 上面那個遞增的
遞減的就換個端點就好 (前面 Mk/2^n 改成 M(k-1)/2^n)
但怕有想漏什麼 僅供參考
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