Re: [分析] Apostol的一題

[hcsoso (索索)]

嘗試證明底下的敘述:

Thm.    令 f: R^n -> R^m 為一連續 1-1 函數. 若 A 為 R^n 中的開集合,
    i)  當 n = m,  則 f(A) 為 f(R^n) 中的開集合.
   ii)  當 n != m, 存在反例使得 f(A) 不為 f(R^n) 中的開集合.

proof   i) 的證明直接用 Domain Invariance 可知 f(A) 為 R^m 中的開集合,
sketch. 因此也為 f(R^n) 中的開集合. 可是 Domain Invariance 我不知道怎麼證,
        要請懂得代數拓撲的板友說明...

        ii) 我們要分成 n > m 與 n < m 的情況分別討論.

        當 n < m 時, 我們可以利用類似 8 字形的例子來反證,
        大致上就是想辦法讓 f(無窮遠處) 很靠近 f(0), 因為 m 比較大,
        可以在 R^m 中把 R^n 彎曲達成目標, 這裡就不多說了...

        當 n > m 時, 我們先來處理 n = 2, m = 1 的情形, 其他就可以類推.
        令 g: R^2 -> R^2 把實數平面 "連續的" 摺疊到

                S := (R_+)^2 = { (x,y) | x, y > 0 },

        應該取 g(x,y) = (e^x, e^y) 就可以了.
        然後再用 h: S -> R 把平面壓到線上, 作法是把 S 上的點小數展開,

                (x,y) = (0. x_1 x_2 x_3..., 0. y_1 y_2 y_3...),

        我們把這個點對應到 R 上的

                h(x,y) = 0.x_1 y_1 x_2 y_2 x_3 y_3 ...

        然後檢查 h 是個 1-1 連續函數.
        (連續來自於當 S 上兩點很靠近時, 小數的差異會在很後面)

        最後, 我們取 f = hg, 以及 A = { (x,y) | x < log 0.15, y > log 0.1 },
        不難檢查 f 是 1-1 連續, 而且 A 在 R^2 中是開集合;
        而 (x,y) \in A 在靠近 (x,y) = (log 0.1, log 0.1) 附近會對應到

                f(x,y) = 0. 1 1 x_2 y_2 x_3 y_3...,

        造成對 0.12 在 f(A) 中 (檢查!) 取開小球時, 會包含 0.11999...
        而這個點並不在 f(A) 中 (因為 x 跑出去), 因此 f(A) 不是開的.
                                                                Q.E.D.

不知道這個證明有沒有什麼問題?


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.30.32
※ 編輯: hcsoso          來自: 140.112.30.32        (10/26 12:03)
→ bineapple   :我覺得h連續性可以再討論一下 像如果從左接近1.000..
→ bineapple   :如果把1寫成0.999..另當別論 可是這樣則需討論函數是
→ bineapple   :否有定義
→ bineapple   :話說維基的invariance of domain條目中有ii)的證明
→ hcsoso      :wiki 似乎只有證 f: R -> R^2? 還是我漏看了...
→ bineapple   :http://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain
→ bineapple   :Consequences的地方
→ Xixan       :那邊是在說不在R^m裡open...