推 Math :推 11/21 00:02
→ dapouchi :請問 這題如果把a改成 cosα α是常數 答案一樣是 11/29 01:29
→ dapouchi :π嗎？ 喻超凡給的答案是 -∞ 跟這題是不是很像? 11/29 01:30
→ dapouchi :有請板上高手為我解答 ^^ 11/29 01:31
※ 引述《endlesschaos (Knight of Owner)》之銘言：
: 在解工數的其中一題
: π cosθ
: 題目：Evaluate ∫ ----------- dθ, -1 < a < 1
: 0 cosθ - a
過程不用打那麼仔細啦,我們又不是笨蛋,寫出主要步驟就夠了.
: method 1：直接用｜z｜= 1 之單位圓套用留數定理
: 1 π cosθ
: 原式 = ---∫ ----------- dθ
: 2 -π cosθ - a
: 1 1
: ---(z + ---)
: 1 2 z 1
: = --- * ∮ * ------------------ * ---- dz
: 2 |z|=1 1 1 iz
: ---(z + ---) - a
: 2 z
: 1 -i(z^2 + 1)
: = --- ∮ ------------------ dz
: 2 z(z^2 - 2az + 1)
: 1 ˍˍˍ ˍˍˍ
: = --- * {2πi * [Res(0) + Res(a + √1 - a^2 i ) + Res(a - √1 - a^2 i)]}
: 2
有兩個極點在積分線上,所以要乘πi而非2πi.
所求 = 1/2 {2πi*Res(0) + πi*[ Res(a+i√(1 - a^2)) + Res(a-i√(1 - a^2) ] }
: -i(z^2 + 1) ｜
: 其中 Res(0) = ---------------｜ = -i
: z^2 - 2az + 1 ｜z = 0
: ˍˍˍ -i(z^2 + 1) ｜
: Res(a + √1 - a^2 i) = ----------------｜ ˍˍˍ
: 3z^2 - 4az + 1 ｜z = a + √1 - a^2 i
: ˍˍˍ
: -i*(2a^2 + 2a√1 - a^2 i)
: = ---------------------------------------------------------
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: 3*(2a^2 - 1 + 2a√1 - a^2 i) - 4a*(a + √1 - a^2 i) + 1
: ˍˍˍ
: -i * (a^2 + a√1 - a^2 i) -i
: = --------------------------- = -i + ------------------------
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: a^2 + a√1 - a^2 i - 1 a^2 + a√1 - a^2 i - 1
不漂亮,可以再化簡為Res(a + i√(1 - a^2) )= -a/√(1-a^2)
: ˍˍˍ -i(z^2 + 1) ｜
: Res(a - √1 - a^2 i) = ----------------｜ ˍˍˍ
: 3z^2 - 4az + 1 ｜z = a - √1 - a^2 i
: ˍˍˍ
: -i*(2a^2 - 2a√1 - a^2 i)
: = ---------------------------------------------------------
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: 3*(2a^2 - 1 - 2a√1 - a^2 i) - 4a*(a - √1 - a^2 i) + 1
: -i * (a^2 - a√1 - a^2 i) -i
: = --------------------------- = -i + ------------------------
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: a^2 - a√1 - a^2 i - 1 a^2 - a√1 - a^2 i - 1
可以再化簡為 Res(a - i√(1 - a^2) ) = +a/√(1-a^2)
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: 故 Res(0) + Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i)
: -i -i
: = -i - i + ------------------------ - i + ------------------------
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: a^2 + a√1 - a^2 i - 1 a^2 - a√1 - a^2 i - 1
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: -i * (a^2 + a√1 - a^2 i - 1 + a^2 - a√1 - a^2 i - 1)
: = -3i + --------------------------------------------------------
: (a^2 - 1)^2 + [a^2 * (1 - a^2)]
: -i * (2a^2 - 2)
: = -3i + ----------------- = -i
: 1 - a^2
故所求 = 1/2 {2πi*Res(0)+πi[ Res(a+i√(1 - a^2)) + Res(a-i√(1 - a^2) ] }
= 1/2 {2πi*(-i)+πi[ -a/√(1-a^2) + a/√(1-a^2) ] }
= 1/2 { 2π + πi*0 } = π
: 故所求 = πi * (-i) = π
: 首先感謝耐心看完 method 1，接下來是method 2......
: method 2：對積分前的函數取實部
方法沒錯
: 1 π cosθ
: 原式 = ---∫ ----------- dθ
: 2 -π cosθ - a
: iθ
: 1 π e
: = --- * Re[∫ ----------- dθ]
: 2 -π cosθ - a
: 1 z 1
: = --- * Re[ ∮ ------------------ * ---- dz]
: 2 |z|=1 1 1 iz
: ---(z + ---) - a
: 2 z
: 1 -2iz
: = --- * Re[∮ --------------- dz]
: 2 z^2 - 2az + 1
: 1 ˍˍˍ ˍˍˍ
: = --- * Re{2πi * [Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i)]}
: 2
在線上,所以是乘πi
所求= 1/2 * Re{πi * [Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i)]}
: ˍˍˍ -2iz ｜
: 其中 Res(a + √1 - a^2 i) = ---------｜ ˍˍˍ
: 2z - 2a ｜z = a + √1 - a^2 i
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: -i*(a + √1 - a^2 i) -a - √1 - a^2 i
: = ---------------------- = ------------------
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: √1 - a^2 i √1 - a^2
: ˍˍˍ -2iz ｜
: Res(a - √1 - a^2 i) = ---------｜ ˍˍˍ
: 2z - 2a ｜z = a - √1 - a^2 i
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: -i*(a - √1 - a^2 i) a - √1 - a^2 i
: = --------------------- = -----------------
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: -√1 - a^2 i √1 - a^2
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: 故 Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i) = -2i
: 1
: 所求 = --- * Re[2πi * (-2i)] = 2π
: 2
所求 = 1/2 *Re[πi * (-2i)] = π
: 想請問的有以下幾點：
: 1. 此題正確答案為π
: 所以想知道 method 2 當中步驟哪裡有錯
想法沒錯,只是因為在線上,所以要乘πi.
: 又對積分取實部或虛部這個方法是否有所限制？限制條件為何？
: (不弄清楚這點我以後都不敢亂取實部......雖然相較之下超方便)
: ˍˍˍ ˍˍˍ
: 2. 此題的兩個奇點： z = a + √1 - a^2 i 、 z = a - √1 - a^2 i 都在單位圓上
: 之前複習書上發現留數定理都是在討論C「內」的奇點
: 那麼在C上的奇點也可以同樣使用嗎？是否有需要注意的地方？
如前所述,在線上的極點牽涉到的是科西積分主值.對積分的貢獻取決於繞的角度,
通常是π啦,所謂繞的角度要用圖說明才比較清楚,不過我不會在BBS上畫圖也懶得畫,
反正書上一定有,自己看吧,應該查Cauchy principal value就找得到了.
例如
∞
∫ sinx/x dx ,你學複變一定會算到這題,他的解法就是乘以πi而非2πi.
-∞
: 3. 想請問留數定理是否有以下的性質：
: ˍ ˍˍˍ
: Res(z1) = Res(z1)
: ˍ ˍˍˍ
: 其中 z1 為 z1 之共軛複數、Res(z1) 為 z1 的留數之共軛複數
: 發現書上很多題都用了這個手法
: 可是像這題 method 1 將兩個複數的留數整理後發現因為沒有虛部所以看不出來
: method 2 則是不符合這個性質
: 反而是實部的地方差了個負號
: 所以想問一下究竟這個等式是否成立？又是否有成立條件？
沒看過,不清楚,不過你都舉出反例了,那就是不成立囉.
: 感謝各位大大耐心的閱讀與回答～～
不客氣
這題可以這樣化:
π cosθ 1 2π cosθ
∫ ----------- dθ = --- ∫ ----------- dθ
0 cosθ - a 2 0 cosθ - a
1 2π a a 2π dθ
= --- ∫ [ 1 + ----------- ] dθ = π + ---∫ -----------
2 0 cosθ - a 2 0 -a + cosθ
考慮最一般的情況:
2π dθ
∫ ----------- = I
0 a + bcosθ
當a^2 > b^2時 : 若 a>0 ,則 I = +2π/√(a^2-b^2) ;
若 a<0 ,則 I = -2π/√(a^2-b^2)
這大家都算到背起來了.
當a^2=b^2時 , 這積分用初微可以很簡單的積出來,代上下限後會發散.
用複變算的話,一個極點在線上且不是簡單極點(二階),所以複變的線積分值發散.
我們在意的是當a^2<b^2時,此時兩個極點都在線上而且皆為簡單極點,
且此二極點的留數和為零.所以複變的線積分值可以合理的說是零.
或是用初微來算,使用萬能代換t=tan(θ/2),則
1 ∞ dt ∣b+a∣
I = -----∫ ---------- ; 其中k = -------------
a-b 0 t^2 - k^2 √(b^2-a^2)
1 k dt ∞ dt
= ---- [ ∫ ----------- + ∫ ------------ ]
a-b 0 t^2 - k^2 k t^2 - k^2
1 1 t-k k-α 1 t-k ∞
= ---- lim { [---ln｜----｜] + [---ln｜----｜ ] }
a-b α→0+ 2k t+k 0 2k t+k k+β
β→0+
取科西積分主值,則α=β.所以最後可算得I=0.
或從
1 ∞ dt
I = ------- ∫ ---------- , 再轉成複變,也可以說明I=0.
2(a-b) -∞ t^2 - k^2
a 2π dθ
所以所求是 π + ---∫ ----------- = π+(a/2)*0 = π
2 0 -a + cosθ
--
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◆ From: 112.105.80.191
※ 編輯: G41271 來自: 112.105.80.191 (11/20 22:49)
※ 編輯: G41271 來自: 112.105.80.191 (11/21 00:01)