Re: [分析] 複變Moebius變換為conformal

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 我想請教一個關於複變中Moebius變換為conformal的問題
: 因為一般mapping稱為conformal除了one-to-one
: 還要滿足f'(z)=/=0
: 可是對於Moebius變換顯然有一個pole = -d/c
:         az + b
: f(z) = --------- (ad - bc =/= 0)
:         cz + d
: 而且還必須考慮f(∞),f(-d/c),c=0及c=/=0的情況

如果你在意的事情只在complex plane上，那勢必不用考慮f(∞)

: 這些也許可以用另外定義的方式使得Moebius變換擴增到extended complex plane

是的

首先我們先看看什麼是"extended complex plane"

基本上就是complex plane補上無窮遠點

那麼要怎麼拓寬f的定義呢？
               a + bw
我定義 g(w) = --------
               c + dw
然後當w跟z都不是0的時候，就可以用zw=1，來聯繫f與g

意思是：當zw=1時，f(z)=g(w)

所以本來的z=0，用w坐標來看的時候，就變成無窮遠點了

可是還是不夠，因為g仍然有pole：-c/d（跟f的pole是同一點）

所以我們要擴展「值域」
            cz + d           c + dw
考慮F(z) = --------，G(w) = --------
            az + b           a + bw
而當f(z)跟F(z)都不是0的時候，可以用f(z)F(z)=1，來聯繫f與F

同理可以聯繫g與G

好處是：本來是f的pole的-d/c，在F來看是zero，一個普通有定義函數的點

另外我們知道，f'(z) = (d/dz)g(1/z) = -g'(1/z)/z^2 = -w^2*g'(w)

也就是說，在zw=1的情形下，f'(z)=/=0跟g'(w)=/=0完全是相同的條件

所以如果是要考慮f在無窮遠點的conformality，可以定義成檢查g'(w)=/=0

如果要考慮f在-d/c的conformality，

因為f'(z) = (d/dz)(1/F(z)) = -F'(z)*F(z)^-2

所以知道當f(z)F(z)=1，f'(z)=/=0跟F'(z)=/=0完全是相同的條件

所以可以定義成檢查F'(z)=/=0


不過如果不堅持用複數定義的話，可以想成是兩個球之間的conformal map

: 但是f'(z)=/=0這一個條件要怎麼維持?
: 查了一些書
: 不知道是不是都是給初學者看
: 似乎除了定義極限狀況狀況外
: 根本都沒有提到怎麼讓f'(z)=/=0的部分
: 希望強者能夠提供一下這部分的證明
: 感謝回答

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◆ From: 111.248.0.11
推 Lanjaja     :太感謝了 解答了我的問題  可是最後一段 我不知道球
→ Lanjaja     :的conformal mapping是什麼 可以大概講一下嗎? 謝謝
→ Vulpix      :就是說那個extended complex plane可以看成跟球一樣
→ Vulpix      :透過球極投影(stereographic projection)來看
→ Vulpix      :而球極投影本身也是conformal，一連串conformal map
→ Vulpix      :合成以後還是conformal，所以才說可以看成球到球