推 hanabiz :XD 10/06 08:17
推 Dexterity :老師出現了! 10/06 10:43
→ ntust661 :推推~~ 10/06 14:04
推 n19860423 :來拜神!!!! 10/06 17:43
※ 引述《Bourbaki (大狐狸)》之銘言：
: ∞ ∞
: Evaluate ∫ [e^(-ax)]cos(bx) dx and ∫ [e^(-ax)]sin(bx) dx , a>0
: 0 0
: by integrating e^-Az , A=√(a^2+b^2), over an appropriate sector with
: angle ω, with cosω=a/A
: 算了兩個多小時....
: 我依題目的提示在第一象限和第三象限各作了一個與x軸夾ω的扇形
: 有點像畫斜的∞的路徑
: 結果把封閉路徑積完竟然直接=0 成功的驗證了cauchy定理
: 什麼都沒算到
: 不甘心再做一三象限的兩個與x軸夾ω的扇形(對稱x軸)
: 積完封閉路徑竟然又是0
: 再度驗證用non-trivial的函數驗證一次cauchy定理
: 想請問一下問題到底是出在哪呢
: 我連趨近於∞大的動作都沒做到就沒東西可算了 冏
: 謝謝^^
提示給得很好。 :)
考慮被積分函數是 e^(-Az)，積分路徑為一個封閉的扇形邊界，
其中扇形的兩射線分別是正實軸與那條和正實軸夾角為ω的射線，
起點為原點。扇形的半徑很大很大 (R -> ∞)。
因為被積分函數為解析函數，對封閉曲線積分為 0。
此路徑積分可分為三段。在弧上的積分會趨近於 0，請自行估計。
在正實軸上的積分為 int( e^(-Ax), x=0..infinity)，這是一個不是零的數。
在剩下的射線上作積分時，可以取參數 z = (-a+ib)*t, t=0..infinity,
這一項會得到所求的一個常數倍。
以上的結果統統兜在一起，你要的答案就出來了。Good luck!
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廢話這麼多，還不就是為了撈 P 幣 :q
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