[分析] Compact set in R^k contains diam() points

[Aweather (夢幻的小風)]

各位好

小弟手邊有兩個題目可是怎麼想都想不出來 @@

第一題是要證明:

E non-empty compact in R^k. Let D = diam(E)=sup{d(x,y), x,y in E}
show: E contains points x_0 y_0 s.t. d(x_0,y_0) = diam(E)

第二題：
               n!
sum_{n=1}^\inf----- 的收斂的證明
               n^n

第一題我自己感覺上是因為他是 bounded & closed
所以達到 diam 的 sup 的那些點可以從 E 裡面逼近
所以那些逼近的 x_1 ... x_n 還有 y_1 ... y_n 的極限也會在 E 裡面

可是不知道怎麼用比較嚴謹的方法寫下來

第二題我用 matlab 算了一些數字覺得應該會收斂
我用過 comparison/ ratio/ root test 但是都失敗了
好像都不太知道要怎麼比較才可以把它框住 @@

感謝各位 m(_._)m
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補充我找到第二題的答案了 orz
series:
 Σ n! / (n^n) ... n = 1 to ∞

use ratio test to determine convergence:

lim |Un+1 / Un|
 = lim [(n+1)! / (n+1)^(n+1)] / [n! / n^n]
 = lim (n+1) n^n / (n+1)^(n+1)
 = lim n^n / (n+1)^n
 = lim (n/(n+1))^n
 = lim e^ln (n/(n+1))^n
 = e ^ lim ln (n/(n+1))^n
 = e ^ lim n * ln (n/(n+1))
 = e ^ lim [ln(1 - 1/(n+1))] / [1/n]

and using L'Hopital's rule
 = e ^ lim [1/(1 - 1/(n+1)) * (1/(n+1)^2] / [-1/n^2]
 = e ^ - lim 1/(1 - 1/(n+1)) * lim (n/(n+1))^2
 = e ^ (-1) * 1
 = 1/e

and this ratio is less than 1.
 thus the series is convergent .

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◆ From: 130.126.106.101
※ 編輯: Aweather        來自: 130.126.106.101      (10/26 12:44)
推 bineapple   :一:d是continuous E^2是compact 所以能取到maximum
→ Aweather    :有可能不用到 d 的連續性嗎？ @@
→ Aweather    :還有一個問題就是 x_n y_n 不必然收斂
→ Aweather    :比方說他可以是一個圓
→ Aweather    :然後x_n y_n 一直延著圓周轉動..
→ Aweather    :要怎麼證明 compact 就一定可以取到 max 呢
→ Aweather    :我再想想好了謝謝 orz
→ Aweather    :好像還是不太會 @@
→ bineapple   :你的x_n y_n是什麼@@?
→ Aweather    :喔喔不好意思當我沒說 orz 我再想要怎麼不用連續性
→ Aweather    :來證明
→ bineapple   :我知道了 你是想讓d(x_n,y_n)收斂到diam(A)吧~
→ bineapple   :這樣的話就找一個子數列 然後因為comapct 所以收斂在
→ bineapple   :E裡面
→ Aweather    :對對 @@ 不過這樣子數列的極限必然就是我們所要的點
→ Aweather    :嗎？
→ Aweather    :我用了另外一個方法證明 ^^" 貼出來了
→ bineapple   :然後證收斂到的x,y能使得diam(E)=d(x,y),這個較簡單
→ Aweather    :不過這樣還是要用到 d 的連續性？
→ bineapple   :不用 用三角不等式就好了
→ Aweather    :感謝 orz 我研究看看