Re: [分析] Apostol的一題

[hcsoso (索索)]

結果經過一陣搜尋, 發現這個習題的命題是錯的.

反例不是那麼好造, 直覺上可以考慮函數 f:R -> R^2,
把整條實數打成一個 "８" 字形, 放大像是底下這樣:

                　    →
                ↑┌──┐
                  │　  │↓
            →   i│    │
            ┌──┼──┘
        　　│ 　 │f(0) ←
          ↑│    │
            └──┘↓
               ←

把 (-\inf, \inf) 對應到上面的圖, 從 i 點開始沿箭頭方向繞一圈回到 i 點,
0 對應到 f(0) 點, i 對應到正負無窮大點.
也就是 (-\inf, 0] 對到右上圈, [0, \inf) 對到左下圈.

可以發現這個對應 f 是 1-1 cont.,
考慮 A = (-1,1), A 是 open 但 f(A) 卻不是 open in f(R), 矛盾;
從另一個角度看, 也就是在 0 點附近 f^{-1} 並不連續,
雖然 f(N) 和 f(0) 點在 N 非常大時無限靠近,
可是 f^{-1} 打回實數線時, 0 和 N 的距離是很遠的.
也就是 f^{-1} 把這個 "８" 字形拔斷了.

這個定理只有在 f:R -> R 會對,
因為 1-1 cont. 會把開區間打到開區間.

--
Chicken's Finite Playground   http://finiteplayground.wordpress.com/
Algorithms, Computational Complexity, Graph Theory, and Anything... FINITE!!

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 220.133.15.16
→ bineapple   :查了一下結果是定理在m=n時會對 m!=n時一定錯
→ bineapple   :這是一個大定理 叫做Invariance of domain
推 WINDHEAD    :這個跟Inv of domain無關呀XD
→ WINDHEAD    :因為他問的是"open in f(A)"
→ WINDHEAD    :而不是"open in R^m"
→ bineapple   :open in R^m就一定open in f(A)啊@@
→ bineapple   :應該說invariance of domain可以拿來殺雞用牛刀
→ bineapple   :我比較好奇有沒有R^2打到R的continuous injection例
→ WINDHEAD    :可是 open in f(A) 不一定 open in R^m ...
→ bineapple   :所以才說殺雞用牛刀...
→ hcsoso      :剛剛想了一下, 的確是 m != n 為條件, 等等證證看...
→ Vulpix      :(-1,1)不是disconnected......
→ Vulpix      : 不過好像無傷大雅?
→ bineapple   :disconnected在證了f is open後直接就出來了
→ bineapple   :所以還真的無傷大雅...
→ hcsoso      :是阿, 那是 minor 的部分 XD