[分析] Apostol一題

[donvito (CryFather)]

習題3.6 Prove that every closed set in R^1 is the intersection of countable
        collection of open sets.

我的想法是 Given a closed set S, for each s in S s =∩_(n=1→∞)(s-1/n, s+1/n).
                                                                    (1)
           Hence, ∵S =∪_(s in S)s =∪(∩_(n=1→∞)(1))

                                   ?
                                   =∩_(n=1→∞)(∪_(s in S)(1))

請問一下這裡的交聯集可以互換嗎???

考慮到一開始的 S 如果是像Cantor set這種醜醜的閉集，

開集們先聯集再交集"感覺上"好像會多抓到一些應該要排掉的點...

but...想不出要怎麼論證這邊到底是對還是錯??


所以除了問這題以外還想問就是

交集聯集什麼情況下可以互換?

(下學期才修集合論 慘= =...)

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◆ From: 111.243.151.165
※ 編輯: donvito         來自: 111.243.151.165      (09/20 22:59)
→ sato186     :No. counter-example: [0,1]
→ donvito     :嗄...[0,1]應該是可以吧?? 後者=∩(-1/n, 1+1/n)
→ donvito     :最後會變成[0,1]
→ sato186     :我是不太贊成這樣證
推 math1209    :1. 考慮 S 的補集 = 開集. 2. 開集內的每一個點都是
→ math1209    :內點. 然後...取適當的閉區間塞在開集合裡面..
→ math1209    :3. 最後收集這堆閉區間, 再採 Lindelof covering thm
→ math1209    :4. 再取補集回去就可以了.
→ donvito     :嗯...好吧 只好回去啃Lindelof定理...
→ donvito     :其實我現在是重新複習，但是之前修的時候不是這本
→ donvito     :所以用的方法可能比較奇怪 不過我還是好想知道這樣
→ donvito     :到底對不對
→ sato186     :推m大
→ donvito     :耍笨了...不能交換..