[分析] 高微課本證明

[Lanjaja ()]

剛剛接觸Apostol
看到一點點就有點問題了page 5
Theorem 1.5
他用數學歸納法
但是Assume it is true for every integer k with 1<k<n.
就這一點我不能夠接受
一般數學歸納法都是假設n=k成立,再來努力證明n=k+1也對

但是Apostol憑什麼用更強的假設
假設n=k以前的「通通」成立?
萬一剛好有些數不成立呢?

做這種這麼強的假設
根本不知道對不對
不是嗎?

可以請強者幫忙開示嗎?
感謝回答

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◆ From: 69.143.35.105
推 Dexterity   :n=k成立就已經是說在k個之前都對了
→ Lanjaja     :是n=k成立 再推到n=k+1成立 才能說這個規則從起點開
→ Lanjaja     :始 一步一步往後都成立
→ THEJOY      :強數歸
推 Dexterity   :1<k<n是更一般化的形式
→ Lanjaja     :請問有哪些書有這種證明嗎? 強數歸?
→ Lanjaja     :因為我好像只看過一般的數學歸納法
推 Dexterity   :在解一些遞迴式常用到 例如 Fibonacci seq.
→ a88241050   :第二數學歸納法,又稱完整歸納法
→ Lanjaja     :那如果只差在假設n=k成立 跟假設n=k以前的均成立
→ Lanjaja     :為何所有數學歸納法不乾脆全部都寫K以前都成立呢?
→ CNSaya      :不是所有證明都要用到強形式呀
→ a88241050   :看題目怎麼出啊,有些題目可以從k推到k+1,有些題目要
→ a88241050   :用1~k來推k+1
→ Lanjaja     :那請問 萬一是從3開始才有效 這樣強形式也可以用嗎?
→ Lanjaja     :sorry 應該是可以
→ Lanjaja     :最後再請教一個問題 兩種是等價的嗎? 或者怎麼分辨誰
→ Lanjaja     :廣義 誰狹義呢  謝謝回答
推 goodGG      :等價，還有許多等價形式，n=k,k+1成立 推n=k+2成立
→ goodGG      :不要拘泥在名詞上頭, 內涵才是最重要的..
→ Lanjaja     :對阿 所以我想知道哪些形式為什麼會一樣 想知道這些
→ Lanjaja     :關係 否則亂用用錯了就不好了
→ Lanjaja     :有沒有書專門講這些? 因為Apostol直接使用也沒有交代
→ G41271      :想成骨牌 只要可以讓骨牌都倒就是可行的歸納法
推 recorriendo :寫成形式語言的話不一樣 不過這已經牽扯到自然數邏輯
→ recorriendo :基礎的問題了，一般數學問提不會管這些
→ Sfly        :你念線代的時後應該也遇過這種情形
推 PaulErdos   :不是他有沒有交代的問題  是你不懂
推 goodGG      :Apostol書上應該講的夠詳細了
→ Lanjaja     :我了解假如從頭開始 這兩個得到的效果是一樣的
→ Lanjaja     :因為Apostol給的是inductive set x 到 x+1  所以意思
→ Lanjaja     :是只要最後結果相同 就可以 不必證明?
→ Lanjaja     :線性代數好像沒有遇到這種問題 如果恩要說的話 det?
→ Lanjaja     :可以請Sfly講一下線線代數哪個地方有這類問題嗎?謝謝
推 rogerli     :http://tinyurl.com/2fd7da7 不要叫我好人。
→ Lanjaja     :謝謝以上各位的解答