※ 引述《Sfly (topos)》之銘言：
: ※ 引述《tandem (天燈)》之銘言：
: : 證 [0,1] -> [0,1] 的遞增函數 f 必有一不動點 x in [0,1] , f(x) = x
: : ---
: : 沒有連續性, 不能用中間值定理
: : 要怎麼做呢 @@
: take any x in [0,1], the sequence x,f(x),f^2(x),... is always monotone
: thus lim f^i(x) exists.
: Let aij = f^i(f^j(0)), then lim lim aij, lim lim aij, lim aij all exist,
: i j j i i,j
: so lim lim f^i(f^j(0)) = lim lim f^i(f^j(0))
: i j j i
: lim f^i(a) = a, where a:=lim f^j(0).
: i j
想問一下在 S 大證名的這行 (把 a 代入)
lim f^i( lim f^j(0) ) =lim f^j(0).
i j j
出現左邊的部分, 是不是用到
lim f^i(f^j(0)) = f^i( lim f^j(0) )
j j
可是如果沒有 f 或 f^i 連續的條件, 還能和 lim 交換嗎 @@
j
: since a,f(a),f^2(a),... is monotone => a=f(a)=f^2(a)=...
: ie. a is a fixed pt.
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