Re: [分析] 交集的定義

[euphrate ()]

:    請教各位, 在 H. L. Royden 的實分析中, 聯集的定義如下
:     ∪  Ai = { x ε X : ( \exits i )( i ε I ＆ x ε Ai ) }
:    iεI
:    聯集的定義很直覺, 但交集的定義中
:     ∩  Ai = { x ε X : ( i )( i ε I => x ε Ai ) }
:    iεI                              ^^^^
:                                       為什麼用 imply, 用 ＆ 不可以嗎?
我們注意到      P => Q  等價於  ~P or Q

PS.  Notations :    ~P : Not P
                    ~ε: is not in

∴

      ∩  Ai = { x ε X : ( i )( i ε I => x ε Ai ) }          (Royden's Def)
     iεI
             = { x ε X : ( i )       ( i ε I => x ε Ai ) }

             = { x ε X : (\forall i )( i ε I => x ε Ai ) }

             = { x ε X : (\forall i )( i ~ε I  or x ε Ai ) }
而
      ∪  Ai = { x ε X : (\exists i )( i ε  I  ＆ x ε Ai ) }
     iεI


[Example] (Augustus De Morgan)


            ,                                                   ,
     (∩ Ai) = { x ε X : (\forall i )( i ~ε I  or x ε  Ai ) }

             = { x ε X : (\exists i )( i ε  I  ＆ x ~ε Ai ) }
                                                            ,
             = { x ε X : (\exists i )( i ε  I  ＆ x  ε Ai ) }
                     ,
             = (∪ Ai )
                                                                        ■




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◆ From: 114.25.209.58
※ 編輯: euphrate        來自: 114.25.209.58        (12/18 23:26)
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→ Nairoda     :謝謝