Re: [分析] 均勻收斂

[hcsoso (索索)]

※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之銘言：
: If fn is differentiable on [-1,1] and
: fn→f unifomly on [-1,1]
: prove f is differentiable on [-1,1]
: 不知道從何著手，所以上來請教

我擔心這題題目有出錯?
原因是根據 Weierstrass 逼近定理,
所有 [-1,1] 上的連續函數都可以被多項式均勻逼近.

但是我們存在連續卻處處不可微的函數,
如 Weierstrass function http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

因此, 雖然多項式皆為可微,
但均勻收斂到的連續函數卻不一定可微.

一般來說, 均勻收斂只有保證 "連續性" 和 "可積分性" 能傳過去,
"可微分性" 不一定能傳的過去.

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◆ From: 220.133.15.16
推 wyob        :其實我想問的就是這個..因為我根據定義做也沒找到保
→ wyob        :正可微，所以想說是不是哪裡有盲點想請教一下高手
推 math1209    :對! 題目應該有錯~
推 wyob        :那有沒有簡單點的反例，還是這篇的W.function就好了
→ hcsoso      :如果只要一個點不可微, |x| 就行了.
→ hcsoso      :你可以試著找一組 fn 逼近 |x|.
推 wyob        :這樣沒有fn→f uni.
→ ppia        :或者是直接套 Weierstrass 逼近定理
推 wyob        :找一組fn去逼近│x│喔，可是還要均勻的逼近是媽