推 ppia :首先f並不會定義在整個[0,1]上, B={k/2^n}都不會被 12/15 11:04
→ ppia :F映射到 因此f是從E:=[0,1]-B送到C的可逆函數 12/15 11:05
→ ppia :f的確不可測 已知[0,1]中有不可測集 而B又測度零 12/15 11:07
→ ppia :因此N:=N'-B也不可測(N'是[0,1]中的一個不可測集) 12/15 11:08
→ ppia :但f(N):=M是Cantor set的子集 故可測 又N=f^(-1)(M) 12/15 11:09
→ wuxr :P大 , 但是我記得可測函數的合成不一定是可測函數 12/15 14:32
→ wuxr :反例就是會用到這個f, 但f是不可測 我困惑了@@ 12/15 14:33
→ wuxr :請再指點一下 12/15 14:34
推 ppia :我不太清楚你看到的構造是什麼 Royden的做法是考慮 12/15 16:31
→ ppia :F+x 從[0,1]打到[0,2] 連續且可逆 其反函數G也連續 12/15 16:31
→ ppia :但是F(C):=D的測度=1>0 所以D包含一個不可測集N 12/15 16:35
→ ppia :令 M=G(N) M為C的子集 故測度零=>可測 令h為M的 12/15 16:36
→ ppia :indecator function, h當然可測 12/15 16:36
→ ppia :但是h。G不可測 因為(h。G)^(-1)({1})=G^(-1)(M)=N 12/15 16:38
推 ppia :我不知道直接考慮F的反函數會不會成功 但是 Royden 12/15 16:42
→ ppia :是把F稍微改造一下 讓他依然遞增連續 且不絕對連續 12/15 16:43
推 math1209 :wuxr, 你給的 F:C -> [0,1] 會有反函數? 12/15 21:23
→ math1209 :ppia 所說的應該就是你要的... 12/15 21:25