作者yueayase (scrya)
看板Math
標題Re: [分析] Apostol上的exercise
時間Mon Jan 17 02:48:07 2011
在放棄之後找到解答:
If S contains no smallest element then S is empty because individual elements
of N are finite. But S is nonempty.
Therefore S contains a smallest element.
這句話:S is empty because individual elements of N are finite的意思,
我看不太懂是什麼, S is empty的原因是因為正整數是(數值?)有限的,那和
no smallest elemeny 的關聯是什麼?
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因為我覺得說每一個正整數都大於等於1,是可以用的事實,且由此提供了
S contains no smallest element,這樣的S一個lower bound,感覺好像可以拿來用
而且根據公理,每兩個數都可比較出大於,等於,或小於的關係,
那如果一個包含1和其他(不一定所有)正整數的集合,為何不能宣稱1是smallest member?
Definition: A set of real numbers is called an inductive set if it has the
following two properties:
(1) The number 1 is in the set.
(2) For every x in the set, the number x+1 is also in the set.
Definition: A real number is called a positive integer if it belongs to every
inductive set.
從以上的定義可以推得"The set of all positive integers is the intersection of
all inductive sets"嗎?
而且由定義:
(a)"1"應該是一個positive integer吧
(b) 2,3, 4,... 也是 positive integers
(c) "0","-1" 不是,因為取正實數集,他是一個inductive set,但不包含-1, 0,所以不是
=> 由此可以推得: 每一個positive integer都大於等於1(不行?)
因為想試試看去了解一些數學證明解法的思考方式,來面對高等微積分程度的數學,
可是好像有些東西就是弄不好
希望有人能幫忙...
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◆ From: 111.251.161.172
※ 編輯: yueayase 來自: 111.251.161.172 (01/17 02:57)
※ 編輯: yueayase 來自: 111.251.161.172 (01/17 03:25)
推 yusd24 :這個問題很簡單，只是希望你做定理的互推 01/17 08:09
→ yusd24 :因為我手邊沒有這本書，所以我不知道這本書是從哪個 01/17 08:09
→ yusd24 :角度切入這些公理... 01/17 08:09
→ yusd24 :上一篇你的證明是錯在 S 搞不好沒有最小元素 01/17 08:10
→ yusd24 :ex: (1,2] 就沒有最小元素.. 01/17 08:11
→ yusd24 :(在 S 裡) 01/17 08:11
推 carusochu :您上一po的論點比較接近: 數學歸納法的等價命題 01/17 10:59
→ carusochu :可是標題為分析的話是不是用完備性公設來處理較好! 01/17 11:01
→ kuromu :Induction <-> Well-Ordering Principle 01/17 17:02
→ kuromu :不知道已知哪些條件 01/17 17:08
→ kuromu :N ={0,1,2,...} N*={1,2,...} 01/17 17:44
→ kuromu : 0 01/17 17:45