推 math1209 :我怎麼覺得你在作特例?? 12/31 01:13
推 sm008150204 :根本不用討論1的情況吧 題目已說Σan收斂 12/31 01:42
※ 引述《bineapple (パイナップル)》之銘言：
: Given a convergent series Σa_n, where each a_n≧0. Prove that Σ√(a_n)*n^(-p)
: converges if p>1/2.
: 是Apostol的一題
: 請高手給點提示 謝謝~~
(1) a_n ≧ 1/n
p > 1/2 => -p < -1/2 => n^(-p) < n^(-1/2) ≦ √(a_n)
Σ(√(a_n))(n^(-p)) < Σ(√(a_n))(√(a_n)) = Σa_n
Since Σa_n converges , Σ(√(a_n))(n^(-p)) converges by comparison test
(2) a_n < 1/n
√(a_n) < n^(-1/2)
(√(a_n))(n^(-p)) < (n^(-1/2))(n^(-p)) = n^(-p - 1/2)
1
Σ(√(a_n))(n^(-p)) < Σ n^(-p - 1/2) = Σ-------------
n^(p + 1/2)
Since p > 1/2 , p + 1/2 > 1
1
=> Σ------------- converges by p-series test
n^(p + 1/2)
=> Σ(√(a_n))(n^(-p)) converges by comparison test
From (1)(2)
Σ(√(a_n))(n^(-p)) converges if p > 1/2
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