推 bineapple :哇 寫這麼長真是辛苦了 十分感謝你^^ 12/04 11:32
※ 引述《bineapple (パイナップル)》之銘言：
: Let g be Riemann integrable on [a,b],
: V(x) be the total variation of G on [a,x],
: r
: where G(r) = ∫g(t)dt, x belong to [a,b].
: a x
: Show that V(x) = ∫|g(t)|dt.
: a
: 我會證明左邊小於等於右邊了
: 可是反過來想不到該怎麼證
: 想請高手指點一下 謝謝!
其實或多或少都會用到:
g is Riemann integrable on [a,b] => g is conti. a.e. on [a,b]
考慮 g 的正部分與負部分:
+ -
g = (|g|+g)/2, g = (|g|-g)/2
兩者皆Riemann可積且
x x + x -
∫ g dt = ∫ g dt - ∫ g dt.
a a a
給定 [a,x] 上的任意分割 a = a < a < ... < a =x, 記 I = [a ,a ]
0 1 n i i-1 i
n ｜ ｜ n ｜ + - ｜
Σ ｜G(x ) - G(x )｜ = Σ ｜∫ g dt ─ ∫ g dt ｜
i=1｜ i i-1 ｜ i=1｜I_i I_i ｜
──(A)── ──(B)──
在取和各項中,如果(A)或(B)等於零, 那麼該項就等於 |g| 在 I_i 的積分,
所以問題是發生在(A)(B)同時不等於零的區間上. 記這些區間為 J_1, ..., J_m
我們有
n ｜ ｜ x t ╭ + - ╮
V(x)≧ Σ ｜G(x ) - G(x )｜ ≧∫|g|dt - Σ │ ∫ g dt + ∫ g dt│
i=1｜ i i-1 ｜ a j=1╰ J_j J_j ╯
───────(R)──────
所以目標就是要讓 (R) 可以任意小, 這也是我們使用 g^+ g^- Riemann 可積性的地方
當g^+非零時g^-等於零, 當g^-非零時g^+等於零,因此 g^+ g^- 都在J_j的某些點等於零,
令
M(f,I) = sup f, m(f,I) = inf f
I I
我們有
+ + + +
[M(g ,J_j) - m(g ,J_j)] [x - x ] = M(g ,J_j)(x - x ) ≧ ∫ g dx
j j-1 j j-1 J_j
- - - -
[M(g ,J_j) - m(g ,J_j)] [x - x ] = M(g ,J_j)(x - x ) ≧ ∫ g dx
j j-1 j j-1 J_j
因為 g^+ g^- 皆 Riemann 可積, 因此對於任意 ε>0 我們可以取到某個分割使得
t + + n + +
Σ [M(g ,J ) - m(g ,J )][x - x ] ≦ Σ [M(g ,I )- m(g ,I )][x - x ] < ε
j=1 j j j j-1 i=1 i i i i-1
t - - n - -
Σ [M(g ,J ) - m(g ,J )][x - x ] ≦ Σ [M(g ,I )- m(g ,I )][x - x ] < ε
j=1 j j j j-1 i=1 i i i i-1
因此(R)的確可以任意小. 其實上面的估計可以證明
"g is Riemann integrable on [a,b] => g is conti. a.e. on [a,b]",
所以或多或少是用到了這件事...
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