→ wyob :先感謝我先消化一下 12/17 01:14
※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之銘言：
: 在做考古題時遇到的問題
: 1.If f:R^2→R is continuous, prove that f is not 1-1
: 2.Let f:R→R be differentiable and suppose there is a constant M>0
: such that │f`(x)│≦M for all x.Prove that f is uniformly
: continuous on R.
: 第一題我原本想直接用反證和定義，可是卻不知道怎麼找適當的距離
: 第二題要用均值定理媽?完全不知道要怎麼開始
: 所以在這邊請教一下
: 感恩感恩
1. 大略說明
(i) 假設f是 1-1 考慮 f的image 要是個區間
(此區間可能為全開 全閉 半開半閉 有界 無界 皆有可能,
但因為1-1假設 不可能是單點)
而你在 f 的 image 中 (非端點處) 找一個點
那此點必定是自 R^2 中唯一一點所送過去
因此若你考慮 R^2扣掉此點所送過去的集合 是個非連通集
但是 R^2 扣掉一點依然連通 因此矛盾
(ii) 你考慮把 x軸, y軸, {(x,y)| x = y } 這三條直線送過去
若假設1-1, 因為連續 則f會把這三個集合都送到區間(非單點)
但是因為1-1, 此三集合所送的區間 僅能有一交點
但是 R 中 不可能有三個非單點的區間 僅一點交集 因此矛盾
以上證明用到兩件事情
1. 連續函數把連通送到連通
2. R中的連通集必為區間
僅供參考～
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