→ fatty3321 :感謝Q.Q我比較看得懂了,我再讀讀 12/08 08:02
※ 引述《fatty3321 (狹縫)》之銘言：
: 各位好
: 最近讀原文碰到了個問題,卡住了...
: 就是,當我們積分f=z^1/2沿曲線C1時(即:Sz^1/2dz,沿C1)
: 原文表示(請原諒我不太會打符號):
: f(z)=z^1/2=(r^1/2)(exp(i系達)) r>0,0<系達<1
: 他說C1是任意取曲線由z=-3~~z=3
: ------------------------
: 我的問題是:
: 他表示z在系達=0時沒有定義,所以他好像換了個函數
: f1(z)=z^1/2=(r^1/2)(exp(i系達)) r>0,-拍/2<系達<3拍/2
: 去積分(=2*3^1/2*(1+i))
: 又用另一個函數
: f2(z)=z^1/2=(r^1/2)(exp(i系達)) r>0,拍/2<系達<5拍/2
: 去積分(=2*3^1/2*(-1+i))
: 我想問為什麼可以用這兩個取代0.0?
: 最後原文書把這兩個曲線作合併成一個迴圈(相加=-4*3^1/2)
: 這整個例題到底是要表達甚麼0.0??
: 這小節一直鬼打牆QQ
: 懇請各位大大們能給予解釋...
: (我支函數的意義感覺一直沒很懂...還有我不太會排版,不好意思)
我們定義f(z)=z^1/2的一個branch的意思是
"存在一個branch cut (不一定是直線，不過一般來說都是選直線) 使得
f(z)在複數平面 減去 branch cut 上連續且f(z)^2=z"
我們不可能使f(z)在整個平面上連續，所以當我們寫z^1/2時一定要註明所選的branch
回到本題
注意f, f1, f2是三個z^1/2的不同branch
關鍵就是
在0<θ<π的範圍上，f(z)和f1(z)的取值一樣
在π<θ<2π的範圍上，f(z)和f2(z)的取值一樣
所以所以可以把f(z)繞一圈的積分 等於 f1(z)繞半圈的積分 加 f2(z)繞半圈的積分
為什麼要這麼麻煩呢?
因為f(z)不再整個C1上連續
不能使用微積分基本定理
換成f1 f2後 因為它們在我們要的範圍內連續
所以可以分別使用微積分基本定理算出積分值
總而言之
這題的目的就是說
微積分基本定理有設定的使用條件
當你的被積函數不符合這個條件時
就要小心一點才能算出正確的積分值！
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◆ From: 128.12.27.129