[分析]有關conformal mapping的證明

[vincentflame (vincent)]

不好意思,小弟有一個問題想請教各路複變高手:

Prove that if f:D→D is analytic and has two distinct fixed points, then f
is the identity.(i.e. f(z)=z for all z belonging to D)
(本題出自Stein & Shakarchi的Complex Analysis第250頁第12題的(a)小題)

小弟是想令α,β為f的fixed point,然後令
F(z)=(φ_f(α))^(-1)。f。(φ_α)
                   α-z
其中φ_α(z)= ─────── ,α belongs to C
                1-(α_bar)z

(α_bar是α的共軛複數)

驗出F(0)=0後,用了Schwarz lemma得到|F(z)|=|z|,從而得知F(z)=e^(iθ)z
但是在這一步就卡了,懇請各路高手提供小弟一些提示,感激不盡!!

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◆ From: 140.116.118.4
推 yusd24      :不是有兩個固定點..??
→ vincentflame:是,f是有兩個固定點沒錯
推 jacky7987   :那就把固定點帶進去阿，α=e^(iθ)α => e^(iθ)=1
→ jacky7987   :F(z)=z
→ vincentflame:解出來了,多謝各路高手!!
→ vincentflame:只是要另外取γ=(α-β)/(1-(αbar)β)
→ vincentflame:這才會是F的另一固定點,也就說明了F(z)=z
→ vincentflame:最後再由此推得f(z)=z